Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Skalar85 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:
Das Kurvenintegral eines wirbelfreien differenzierbaren Vektorfeldes über
eine geschlossene Kurve ist immer gleich 0. |
Warum stimmt diese Aussage nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mi 23.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Entscheiden Sie ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:
> Das Kurvenintegral eines wirbelfreien differenzierbaren
> Vektorfeldes über
> eine geschlossene Kurve ist immer gleich 0.
> Warum stimmt diese Aussage nicht?
Sie ist unpräzise: das Vektorfeld muss auf der gesamten von der Kurve eingeschlossenen Fläche definiert und diff'bar sein.
Gegenbeispiel: das zweidimensionale Vektorfeld
[mm] F=\vektor{\dfrac{-y}{x^2+y^2}\\[2mm] \dfrac{x}{x^2+y^2}} [/mm], [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm]
ist wirbelfrei, denn
[mm] \bruch{\partial F_y}{\partial x} - \bruch{\partial F_x}{\partial y} = 0[/mm].
Aber da es im Nullpunkt weder definiert noch stetig fortsetzbar ist, lässt sich die Aussage so nicht treffen.
Die Aussage kann man zum Beispiel so ergänzen:
Das Kurvenintegral eines im gesamten Raum wirbelfreien differenzierbaren
Vektorfeldes über eine geschlossene Kurve ist immer gleich 0.
Viele Grüße
Rainer
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