Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei k der einmal im Gegenuhrzeigersinn durchlaufene Einheitskreis um den Ursprung und [mm] \omega=xydx-x^2dy; U=\IR^2 [/mm] eine Differentialform. Berechnen Sie [mm] \oint_{k}{\omega}.
[/mm]
Ist [mm] \omega [/mm] total? (mit Begründung) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst mal: Hallo an alle!
Ich hab diese Aufgabe eigentlich schon gelöst, aber ich bin mir sicher, dass irgendwo ein Fehler ist. Zunächst mal hab ich mir k überlegt:
[mm] k:[0;2\pi] \to \IR^2,t \mapsto(\cos(t),\sin(t))
[/mm]
Dann kann ich dieses Kurvenintegral mit Hilfe der Formel aus der Vorlesung berechnen:
[mm] \oint_k{\omega}=\int_0^{2\pi}{[\cos(t)*\sin(t)*(-\sin(t))-\cos^2(t)*\\cos(t)]dt}=\int_0^{2\pi}{-\cos(t)*(\sin^2(t)+\cos^2(t))dt}=\int_0^{2\pi}{-\cos(t)dt}=[-\sin(t)]_0^{2\pi}=0
[/mm]
Also ist das Kurvenintegral =0. Da U einfach zusammenhängend ist, müsste [mm] \omega [/mm] nun total sein, also eine Stammfunktion besitzen (nach einem Satz aus der Vorlesung).
Jetzt rechne ich mal diese Integrabilitätsbedingung nach, mit f(x,y)=x*y und [mm] g(x,y)=-x^2 [/mm] folgt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial x}(x,y)=-2x
[/mm]
Ist also nicht erfüllt (Ableitungen sind verschieden), also kann wegen Satz von Schwarz keine Stammfunktion existieren, [mm] \omega [/mm] also nicht total sein, im Widerspruch zu dem was ich oben rausbekommen habe.
Wo ist denn nun mein Denk- oder Rechenfehler? Freu mich auf Eure Hilfe!
Viele Grüße und Danke schonmal,
Baskerville
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Da [mm] \IR^2 [/mm] einfach zusammenhängend ist, ist [mm] \omega [/mm] dann total , wenn $ [mm] \oint_{k}{\omega}=0$ [/mm] für jeden geschlossenen Integrationsweg k
Die Betohnung liegt auf dem Wort "jeden".
Was Du weißt ist: $ [mm] \oint_{k}{\omega}=0$ [/mm] für einen Integrationsweg k
FRED
|
|
|
| |
|
Oh, ja klar, danke! Wusste, dass ich irgendwo was übersehen habe.  Vielen Dank für die schnelle Antwort!
|
|
|
|
