Kurvenintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Do 12.08.2010 | | Autor: | tronix |
| Aufgabe | Berechnen sie das räumliche kurvenintegral
[mm] \integral_{C} [/mm] ydx+zdy+xdz
entlang der Strecke C von A(0;0;0) nach E(1;2;3)
ist dieses integral wegunabhängig bei fixiertem A und E ??
|
guten tag ich versuch mich grade an dieser aufgabe hier und hab einige probleme damit
als erstes wollte ich mir jetzt mal die vektoriellen darstellung des Kraftfeldes und des Integrationsweges aufschreiben da bin ick mir aber irgendwie nich so sicher für
[mm] \vec{F} [/mm] hab ich jetzt [mm] \vec{F}=\vektor{y \\ z \\ x}
[/mm]
und für den Integrationsweg
C: [mm] \vec{r}(t)=\pmat{ 1x & (t) \\ 2y & (t) \\ 3z & (t)} [/mm] = [mm] \vektor{1t \\ 2t \\ 3t } [/mm] und als grenzen [mm] (0\le [/mm] t [mm] \le3)
[/mm]
ist der ansatz so richtig oder bin ich da komplett auf dem holzweg weil normal kenne ich solche aufgaben nur indem ich für den integrationsweg irgendeine funktion vorgegeben habe
es wäre nett falls ich hier komplett falsch liege wenn mir dann einer bitte einen korrekten ansatz mit erläuterung schreibt damit ich mal nachvollziehen kann wie man an so eine aufgabe richtig ran geht danke schonmal im vorraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Do 12.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen sie das räumliche kurvenintegral
>
> [mm]\integral_{C}[/mm] ydx+zdy+xdz
>
> entlang der Strecke C von A(0;0;0) nach E(1;2;3)
> ist dieses integral wegunabhängig bei fixiertem A und E
> ??
>
>
> guten tag ich versuch mich grade an dieser aufgabe hier und
> hab einige probleme damit
>
> als erstes wollte ich mir jetzt mal die vektoriellen
> darstellung des Kraftfeldes und des Integrationsweges
> aufschreiben da bin ick mir aber irgendwie nich so sicher
> für
>
> [mm]\vec{F}[/mm] hab ich jetzt [mm]\vec{F}=\vektor{y \\ z \\ x}[/mm]
Richtig
>
> und für den Integrationsweg
>
> C: [mm]\vec{r}(t)=\pmat{ 1x & (t) \\ 2y & (t) \\ 3z & (t)}[/mm] =
> [mm]\vektor{1t \\ 2t \\ 3t }[/mm] und als grenzen [mm](0\le[/mm] t [mm]\le3)[/mm]
>
Das: [mm] \pmat{ 1x & (t) \\ 2y & (t) \\ 3z & (t)} [/mm] ist schon etwas komisch
Schreib einfach:
[mm] \vec{r}(t)= \vektor{t \\ 2t \\ 3t }
[/mm]
Das Parameterintervall hast Du auch falsch. Nicht [mm]0\le[/mm] t [mm]\le3[/mm], sondern
[mm]0\le[/mm] t [mm]\le1[/mm]
FRED
>
> ist der ansatz so richtig oder bin ich da komplett auf dem
> holzweg weil normal kenne ich solche aufgaben nur indem ich
> für den integrationsweg irgendeine funktion vorgegeben
> habe
>
> es wäre nett falls ich hier komplett falsch liege wenn mir
> dann einer bitte einen korrekten ansatz mit erläuterung
> schreibt damit ich mal nachvollziehen kann wie man an so
> eine aufgabe richtig ran geht danke schonmal im vorraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 12.08.2010 | | Autor: | tronix |
nur noch eine frage zu den grenzen ist das immer 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
oder gibs da irgendwas wie man das bestimmt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Do 12.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du 2 Punkte A und B imm [mm] \IR^3 [/mm] gegeben hast, so ist die Verbindungsstrecke C dieser beiden Punkte gegeben durch
[mm] $C=\{A+t(B-A): t \in [0,1] \}
[/mm]
Diese Verbindungstrecke hat viel Parametrisierungen. Die einfachste ist
[mm] $\vec{r}(t)= [/mm] A+t(B-A)$ ($t [mm] \in [/mm] [0,1]$)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Fr 13.08.2010 | | Autor: | tronix |
so ich stell mal hier meine rechnung rein und bräuchte dann bitte eine aussage ob das was ich da gemacht hab richtig ist oder ob ich mich irgendwo verhauen habe danke schonmal im vorraus
[mm] \vec{F} [/mm] = [mm] \vektor{y \\ z \\ x}
[/mm]
[mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{1t \\ 2t \\ 3t}
[/mm]
=> [mm] \vec{r} '=\vektor{1 \\2 \\3} [/mm] <- soll der tangentialvektor sein
[mm] \vec{F} [/mm] * [mm] \vec{r} [/mm] ' [mm] =\vektor{ 1t\\2t\\3t} [/mm] * [mm] \vektor{1\\2\\3}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1} (1t+1)+(2t*2)+(3t*3)=\integral_{0}^{1} [/mm] 14t
=> 14 als ergebniss
so und für die wegunabhängigkeit für ein räumliches vektorfeld gilt ja
[mm] \bruch{\partial F_x}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial F_y}{\partial x}
[/mm]
;
[mm] \bruch{\partial F_y}{\partial z} [/mm] = [mm] \bruch{\partial F_z}{\partial y}
[/mm]
;
[mm] \bruch{\partial F_z}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial F_x}{\partial x}
[/mm]
wofür ich dann folgende werte erhalten habe
[mm] \bruch{\partial F_x}{\partial y} [/mm] = dx
[mm] \bruch{\partial F_y}{\partial x} [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial F_y}{\partial z} [/mm] = dy
[mm] \bruch{\partial F_z}{\partial y} [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial F_z}{\partial x} [/mm] = dz
[mm] \bruch{\partial F_x}{\partial x} [/mm] = 0
da diese ergebnisse der obrigen forderung zufolge nicht übereinstimmen ist das integral wegabhängig
so das ist im groben alles was auf meinem zettel steht für anmerkungen und hinweise wäre ich wie gesagt sehr dankbar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Fr 13.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> so ich stell mal hier meine rechnung rein und bräuchte
> dann bitte eine aussage ob das was ich da gemacht hab
> richtig ist oder ob ich mich irgendwo verhauen habe danke
> schonmal im vorraus
>
> [mm]\vec{F}[/mm] = [mm]\vektor{y \\ z \\ x}[/mm]
>
> [mm]\vec{r}[/mm] = [mm]\vektor{1t \\ 2t \\ 3t}[/mm]
>
> => [mm]\vec{r} '=\vektor{1 \\2 \\3}[/mm] <- soll der
> tangentialvektor sein
>
>
> [mm]\vec{F}[/mm] * [mm]\vec{r}[/mm] ' [mm]=\vektor{ 1t\\2t\\3t}[/mm] *
> [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm]
Das stimmt nicht.
Richtig( ich lasse die blöden Pfeile mal weg):
$F(r(t))*r'(t)= [mm] \vektor{ 2t\\3t\\t}*\vektor{1\\2\\3}= [/mm] 11t$
>
> = [mm]\integral_{0}^{1} (1t+1)+(2t*2)+(3t*3)=\integral_{0}^{1}[/mm]
> 14t
>
> => 14 als ergebniss
>
> so und für die wegunabhängigkeit für ein räumliches
> vektorfeld gilt ja
>
> [mm]\bruch{\partial F_x}{\partial y}[/mm] = [mm]\bruch{\partial F_y}{\partial x}[/mm]
>
> ;
>
> [mm]\bruch{\partial F_y}{\partial z}[/mm] = [mm]\bruch{\partial F_z}{\partial y}[/mm]
>
> ;
>
> [mm]\bruch{\partial F_z}{\partial x}[/mm] = [mm]\bruch{\partial F_x}{\partial x}[/mm]
>
>
> wofür ich dann folgende werte erhalten habe
>
> [mm]\bruch{\partial F_x}{\partial y}[/mm] = dx
????
>
> [mm]\bruch{\partial F_y}{\partial x}[/mm] = 0
>
> [mm]\bruch{\partial F_y}{\partial z}[/mm] = dy
????
>
> [mm]\bruch{\partial F_z}{\partial y}[/mm] = 0
>
> [mm]\bruch{\partial F_z}{\partial x}[/mm] = dz
????
>
> [mm]\bruch{\partial F_x}{\partial x}[/mm] = 0
>
> da diese ergebnisse der obrigen forderung zufolge nicht
> übereinstimmen ist das integral wegabhängig
Was meinst Du damit ?
FRED
>
> so das ist im groben alles was auf meinem zettel steht für
> anmerkungen und hinweise wäre ich wie gesagt sehr dankbar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Fr 13.08.2010 | | Autor: | tronix |
> so und für die wegunabhängigkeit für ein räumliches
> vektorfeld gilt ja
>
> $ [mm] \bruch{\partial F_x}{\partial y} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\partial F_y}{\partial x} [/mm] $
>
> ;
>
> $ [mm] \bruch{\partial F_y}{\partial z} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\partial F_z}{\partial y} [/mm] $
>
> ;
>
> $ [mm] \bruch{\partial F_z}{\partial x} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\partial F_x}{\partial x} [/mm] $
>
>
> wofür ich dann folgende werte erhalten habe
>
> $ [mm] \bruch{\partial F_x}{\partial y} [/mm] $ = dx
????
>
> $ [mm] \bruch{\partial F_y}{\partial x} [/mm] $ = 0
>
> $ [mm] \bruch{\partial F_y}{\partial z} [/mm] $ = dy
????
>
> $ [mm] \bruch{\partial F_z}{\partial y} [/mm] $ = 0
>
> $ [mm] \bruch{\partial F_z}{\partial x} [/mm] $ = dz
????
>
> $ [mm] \bruch{\partial F_x}{\partial x} [/mm] $ = 0
>
> da diese ergebnisse der obrigen forderung zufolge nicht
> übereinstimmen ist das integral wegabhängig
Was meinst Du damit ?
naja laut der papula formelsammlung muss hier das gleich rauskommen damit man dann weiß das das integral wegunabhängig ist oder aber die rotation des verktorfeldes = 0 so stehts zumindest im buch nur hab ich atm noch probleme damit das zu verstehen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Fr 13.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \bruch{\partial F_x}{\partial y}=dx [/mm] ist der Unsinn!
was ist denn [mm] F_x? [/mm] schreib es hin, und leite nach y ab!
dx als Ergebnis oder im Ergebnis ist immer Unsinn.
Ausserdem kann man das potential dessen grad f ist hier direkt "sehen"
2. [mm] \integral_{0}^{1}{a*t dt}\ne [/mm] a!!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 13.08.2010 | | Autor: | tronix |
âchso also ist die bedingung zwar richtig und ick hab einfach nur ein fehler beim partiellen ableiten gemacht ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Fr 13.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruss leduart
|
|
|
|
