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| Aufgabe | Gegeben ist eine Kurve in der Parameterdarstellung x(t) = a cos(t), y(t) = b sin(t).
a) Zeichnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Wertetabelle den Verlauf der Kurve mit a = 5 und b = 4. In welchem Intervall muss variiert werden, damit eine geschlossene Kurve entsteht?
b) Berechnen Sie das Kurvenintegral dF über die geschlossene Kurve [mm] \integral_{m}^{n}{dF}=\integral_{m}^{n}{y(t)dx+x(t)dy} [/mm] |
Hallo,
also eigentlich glaube ich zwar die Aufgabe gelöst zu haben, allerdings irritiert mich das Ergebnis dermaßen, dass ich die Aufgabe hier mal stellen möchte, um zu sehen, ob ich es nicht doch falsch gemacht habe.
Also als erstes habe ich halt eine Wertetabelle von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] gemacht, bei der ersichtlich wird, dass ein Kreis entsteht. Also habe ich als Intervall 0 bis [mm] 2\pi.
[/mm]
Für b habe ich dann für y(t) und x(t) die gegebenen Gleichungen eingesetzt, um in dem Integral nur noch die Variable t zu haben. Dann habe ich die Ableitungen gebildet und für dx sowie dy eingesetzt. So kommt für mich dann die Gleichung:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{-20sin^2(t)dt}+\integral_{0}^{2\pi}{20cos^2(t)dt}
[/mm]
heraus.
Integriert ergibt das:
[mm] [-10(t-sin(t)cos(t))]^{2\pi}_{0}+[10(t+sin(t)cos(t))]^{2\pi}_{0}
[/mm]
Jetzt kann man einsetzen, oder schon von alleine sehen, dass das Ergebnis 0 wäre. Nun kommt mir aber eben das sehr merkwürdig vor. Beschreibt denn das Integral nicht die Fläche unter der Kurve? Wie kann denn dann diese Fläche nun aber 0 sein?
Hoffe mir kann jemand eine Antwort geben und bedanke mich schonmal.
lg
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Hallo Clawfinger,
> Gegeben ist eine Kurve in der Parameterdarstellung x(t) = a
> cos(t), y(t) = b sin(t).
> a) Zeichnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Wertetabelle
> den Verlauf der Kurve mit a = 5 und b = 4. In welchem
> Intervall muss variiert werden, damit eine geschlossene
> Kurve entsteht?
> b) Berechnen Sie das Kurvenintegral dF über die
> geschlossene Kurve
> [mm]\integral_{m}^{n}{dF}=\integral_{m}^{n}{y(t)dx+x(t)dy}[/mm]
> Hallo,
> also eigentlich glaube ich zwar die Aufgabe gelöst zu
> haben, allerdings irritiert mich das Ergebnis dermaßen,
> dass ich die Aufgabe hier mal stellen möchte, um zu sehen,
> ob ich es nicht doch falsch gemacht habe.
>
> Also als erstes habe ich halt eine Wertetabelle von 0 bis
> [mm]2\pi[/mm] gemacht, bei der ersichtlich wird, dass ein Kreis
> entsteht. Also habe ich als Intervall 0 bis [mm]2\pi.[/mm]
>
> Für b habe ich dann für y(t) und x(t) die gegebenen
> Gleichungen eingesetzt, um in dem Integral nur noch die
> Variable t zu haben. Dann habe ich die Ableitungen gebildet
> und für dx sowie dy eingesetzt. So kommt für mich dann
> die Gleichung:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{-20sin^2(t)dt}+\integral_{0}^{2\pi}{20cos^2(t)dt}[/mm]
> heraus.
> Integriert ergibt das:
>
> [mm][-10(t-sin(t)cos(t))]^{2\pi}_{0}+[10(t+sin(t)cos(t))]^{2\pi}_{0}[/mm]
>
> Jetzt kann man einsetzen, oder schon von alleine sehen,
> dass das Ergebnis 0 wäre. Nun kommt mir aber eben das sehr
> merkwürdig vor. Beschreibt denn das Integral nicht die
> Fläche unter der Kurve? Wie kann denn dann diese Fläche
> nun aber 0 sein?
Die Kurve ist symmetrisch zur x-Achse und zur y-Achse.
> Hoffe mir kann jemand eine Antwort geben und bedanke mich
> schonmal.
> lg
Gruss
MathePower
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