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Hallo.
Ich habe keine konktrete Aufgabe, sondern nur eine allgemeine Frage. Sie ist zwar sehr mathematisch, aber ich denke, dass sie in diesem Forum doch besser aufgehoben ist.
Sagen wir ich habe als Gravitationskraft [mm] \vec{F}=-\gamma\frac{mM}{r^2}\cdot\vec{e_r}=-\gamma\frac{mM\cdot\vec{r}}{r^3} [/mm] gegeben.
Nun will ich die Arbeit zwischen zwei Punkten berchnen. Sagen wir einfach mal P=(1,2,3) und Q=(4,5,6).
Meine eigentliche Frage: Wenn ich ein Vektorfeld in der "mathematischen Form" z.B. [mm] f(x,y,z)=(x^2+y,-z-x,3y) [/mm] vorliegen hätte, dann wäre das kein Problem.
Ist es richtig, das ich die Gravitationskraft dazu so umschreiben kann:
[mm] \vec{F}(x,y,z)=\left( -\gamma\frac{mM*x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}^3} \; , \; -\gamma\frac{mM*y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}^3} \; , \; -\gamma\frac{mM*z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}^3} \right)=-\gamma\frac{mM}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}^3}(x,y,z)
[/mm]
Sodass ich hier dann ganz normal [mm] "\int F(c(t))*\dot{c} [/mm] dt" berechnen könnte, wenn c(t) die Parametrisierung meines Weges ist?
Ist das so richtig?
Und noch eine Frage, wenn ich nun nicht den direkten Weg berechnen will, sondern parallel zu den Koordinatenachsen. Würde das dann so gehen (bsp. für die x-Achse, da y und z entsprechend und am Ende alles nur addiert werden muss):
[mm] $\int F_x [/mm] dS = [mm] \int_1^4 -\gamma\frac{mM}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}^3} [/mm] *x [mm] \; [/mm] dx$
Was passiert hier mit den x,y,z unterhalb der wurzel??
Gruß Patrick
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Hallo!
zu deiner ersten Frage:
[mm] $-\gamma\frac{mM\cdot\vec{r}}{r^3} [/mm] $
ist nichts anderes als
[mm] $-\gamma\frac{mM}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}^3}(x,y,z) [/mm] $
Das ist keine Umformung, das ist eigentlich nur Schreibweise.
Zu der zweiten Frage: Nun, du integrierst zwei mal. Dabei bewegt sich der Punkt wie folgt:
[mm] $\vektor{1\to 4\\2\\3} \quad \vektor{4\\2\to 5\\3} \quad \vektor{4\\5\\3\to 6}$
[/mm]
Bei der Integration schreibst du am besten:
[mm] $\left \int_1^4 ... dx\right|_{\red{y=2};z=3}$
[/mm]
[mm] $\left \int_2^5 ... dy\right|_{x=4;z=3}$
[/mm]
[mm] $\left \int_3^6 ... dy\right|_{x=4;\red{y=5}}$
[/mm]
Sprich, die Variablen, über die NICHT integriert wird, werden konstant bei ihrem aktuellen Wert gelassen. Beachte, daß sich der Wert von y ja während der Integration über y ändert.
Und anschließend addierst du die Werte der drei Integrale.
Also von daher, alles richtig!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mi 04.02.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Danke,
dann kann die Klausur ja morgen kommen 
LG Patrick
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Hi!
Nur der Vollständigkeit halber: Das mit der Summe der drei Integrale funktioniert nur bei konservativen Feldern, bei denen das Integral wegunabhängig ist. Bei der Gravitation ist das der Fall!
Andernfalls müßte man einen festen durch eine Variable parametrisierten wie Pfad [mm] $\vec{r}(t),\quad t\in{0;T}$ [/mm] vorgeben und in dem allgemeinen Integral substituieren:
[mm] $\int_{\vec{a}}^{\vec{b}} f(\vec{r})d\vec{r}\quad \longrightarrow \quad \int_0^Tf(\vec{r}(t))*\left(\frac{d}{dt}\vec{r}(t)\right)dt$
[/mm]
Hmmm, Eigentlich machst du grade auch nix anderes, außer, daß [mm] \vec{r}(t) [/mm] eine stückweise definierte Funktion mit drei Abschnitten ist.
Es gibt nur einen Unterschied: Es ist völlig egal, in welche der drei Richtungen du zuerst gehst, es gibt 6 Möglichkeiten, vom ersten zum zweiten Punkt zu kommen, und die Summe der drei Integrale sollte in allen sechs Fällen gleich sein. Bei einem nicht konservativen Feld wären die Ergebnisse unterschiedlich...
Sind jetzt alle Klarheiten beseitigt? :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Mi 04.02.2009 | | Autor: | XPatrickX |
>
> Sind jetzt alle Klarheiten beseitigt? :D
Ja! 
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