Kurvenintegral Halbkreis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Fr 25.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich habe mal wieder ein Kurvenintegral zu berechnen
Gegeben ist ein Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt in (3/3)
Dieser Kreis wird nun durch die Gerade y=x in 2 Halbkreise geteilt. Der obere Halbkreis ist H (y>x). C wird als die positiv durchlaufene Randkurve von H bezeichnet
Mein Vektorfeld lautet folgendermaßen: [mm] \vektor{1 \\ xy}
[/mm]
Nun habe ich mir eine Parametrisierung gesucht für den Kreis gesucht:
c(t) = [mm] \vektor{3+cos(t) \\ 3+sin(t)}
[/mm]
c'(t)= [mm] \vektor{-sin(t) \\ cos(t)}
[/mm]
c(t) eingesetzt in v ergibt [mm] :\vektor{1 \\ (3+cos(t))(3+sin(t))} =\vektor{1 \\ 9+3sin(t)+3cos(t)+sin(t)cos(t)}
[/mm]
Nun das Integral:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\vektor{1 \\ 9+3sin(t)+3cos(t)+sin(t)cos(t)}\vektor{-sin(t) \\ cos(t)} dt} =\integral_{0}^{\pi}{\vektor{1 \\ -sin(t)+9cos(t)+3sin(t)cos(t)+3cos(t)^2+sin(t)cos(t)^2} dt}
[/mm]
Stimmt das soweit oder ist mir ein Fehler unterlaufen. Bin mir nicht sicher ob die Integrationsgrenzen stimmen aber da es nur ein Halbkreis ist denke ich das 0- [mm] \pi [/mm] passt .Ich hoffe ich habe den positiven Sinn wie verlangt berechnet
Zur Kontrolle soll ich noch das Integral [mm] \integral_{}^{}\integral_{}^{}{y dxdy} [/mm] berechnen und hier soll dasgleiche herauskommen.
Aber mir sind die Grenzen leider nicht klar
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo racy90,
> Nun das Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\vektor{1 \\ 9+3sin(t)+3cos(t)+sin(t)cos(t)}\vektor{-sin(t) \\ cos(t)} dt} =\integral_{0}^{\pi}{\vektor{1 \\ -sin(t)+9cos(t)+3sin(t)cos(t)+3cos(t)^2+sin(t)cos(t)^2} dt}[/mm]
du hast das Produkt deiner beiden Vektoren nicht richtig berechnet (vgl.: ![[]](/images/popup.gif) Skalarprodukt in kartesischen Koordinaten).
Deine Grenzen für die Kurve, die einen Halbkreis beschreibt, [mm] c:[0,\pi]\to\IR^2 [/mm] ist richtig (Anschaulich dargestellt: Hier kannst du deine Kurve plotten :)).
> Zur Kontrolle soll ich noch das Integral
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{}^{}{y dxdy}[/mm] berechnen und hier
> soll dasgleiche herauskommen.
>
> Aber mir sind die Grenzen leider nicht klar
Versuch doch das entsprechende Lebesgue-Integral über [mm] B_1^2(3,3):=\{x\in\IR^2: |x-(3,3)|\le 1\} [/mm] zu bilden und mit der Transformationsformel und einer entsprechenden Parametrisierung zu lösen. Zuvor ist evtl. eine Verschiebung durch
[mm] \integral_{B_1^2(3,3)}{y}d\lambda^2(x,y)=\integral_{B_1^2(0,0)}{y+3}d\lambda^2(x,y) [/mm]
hilfreich. Die Anwendung der Transformationsformel und des Satzes von Fubini sollte dir dann ein entsrechendes Riemann-Integral geben.
Eine Möglichkeit direkt Grenzen für [mm]\integral_{}^{}\integral_{}^{}{y dxdy}[/mm] anzugeben, fällt mir auf die Schnelle nicht ein.
LG Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Fr 25.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Aja ist mir leider nicht aufgefallen
also das Integral sieht dann so aus:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{-sin(t)+9cos(t)+3sin(t)cos(t)+3cos(t)^2+sin(t)cos(t)^2 dt}
[/mm]
Die andere Variante vestehe ich trotz HInweis leider nicht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Fr 25.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Grenzen 0 bis [mm] \pi [/mm] sind falsch, das wäre der Halbkreis oberhalb der Geraden y=3, nicht oberhalb y=x. durch eine Skizze siehst du die richtigen Winkel..
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 26.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Somit müsste mein Kurvenintegral so aussehen. Ich hoffe die Grenzen passen nun.
[mm] \integral_{\bruch{-\pi}{4}}^{\bruch{3\pi}{4}}{-sin(t)+9cos(t)+3sin(t)cos(t)+3cos(t)^2+sin(t)cos(t)^2 dt}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Sa 26.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 26.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Dankeschön
Wie gehe ich nun vor wenn ich das Ergebnis mit [mm] \integral_{}^{}\integral_{}^{}{y dxdy} [/mm] nachrechnen soll?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wirklich kartesisch zu rechnen ist umstandlich, du musst dir den halbkreis in passende Teile zerlegen. Also rechne auch wieder in Polarkoordinaten dann r von 0 bis 1, t wie gehabt .
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 So 27.04.2014 | | Autor: | racy90 |
also Kreisparametrisierung ist ja [mm] \vektor{cos(t) \\ sin(t)}
[/mm]
Mein Integral [mm] \integral_{}^{}\integral_{}^{}{y dxdy}
[/mm]
Mit meinen Grenzen:
In meinen angegeben Integral ist ja [mm] \integral_{-\pi/4}^{3\pi/4}\integral_{0}^{1}{sin(t) drdt}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Innere deines Halbkreises ist doch durch
x=3+r*cos(t), y=3+r*sint [mm] 0\le r\le1, \pi/4\let [/mm] t [mm] \le 5/4\pi [/mm] gegeben.
warum nimmst du plptzlich einen Kreis um 0
und das dA ist in Polarkoordinaten rdt*dr.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 27.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Stimmt das habe ich völlig vergessen das mein Kreis bei (3/3) den Mittelpunkt hat.
also so : [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{-\pi/4}^{3\pi/4}{3+r^2sin(t) dtdr}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
fast richtig, aber du hast nicht (3+rsint)*rdrdt gerechnet!
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 So 27.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Stimmt Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 So 27.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Ich habe nun [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{-\pi/4}^{3\pi/4}{3r+r^2sin(t) dtdr} [/mm] und es kommt heraus 5,18.
Aber das Ergebnis soll ja nun gleich sein wie der andere Weg wo ich das Kurvenintegral mit der Randkurve des oberen Halbkreis .Siehe oberer Beiträge
Nur ist dort das Ergebnis 16,02
Wo habe ich einen Fehler gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe gerade, dass deine Grenzen falsch waren (oder sind. der obere halbkreis fängt bei
[mm] \pi/4 [/mm] an und hört bei [mm] 5\pi/4 [/mm] auf.
tut mir leid, dass ich das nicht früher gesehen hab, an den Integralen ist das für mich zu klein zum lesen- ich hatte aber die richtigen Grenzen angegeben, da hättest du rückfragen müssen.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 27.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Ja stimmt eigentlich.
Also Grenzen sowohl beim Kurvenintegral als auch beim Doppelintegral tauschen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, die richtigen einsetzen!
gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 27.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Also ich habe dann diese 2 Integrale
[mm] \integral_{\pi/4}^{5\pi/4}{-sin(t)+9cos(t)+3sin(t)cos(t)+3cos(t)^2+cos(t)^2sin(t) dt} [/mm] = -9.19
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{\pi/4}^{5\pi/4}{3r+r^2sin(t) dtdr} [/mm] = 5.18
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Mo 28.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab keine Lust das nachzurechnen, wie hast du die Integrale bestimmt?
wben fallt mir ein, du musst ja über den ganzen Rand des Halbkreises das Linienintegral berechnen, also auch das Geradenstück.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 29.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Das heißt ich muss mir meine Schnittpunkte der Halbkugel mit der Geraden berechnen in kartesischen Koordinaten .
Also ( 2,30/2,30) und (3,71/3,71)
Zwischen diesen 2 Punkten veräuft meine Gerade.
Parametrisierung der Geraden [mm] c(t)=\vektor{2,3 \\ 2,3}+t\vektor{3,71-2,3 \\ 3,71-2,3}
[/mm]
[mm] c(t)=\vektor{2,3+\wurzel{2}t \\ 2,3+\wurzel{2}t }
[/mm]
[mm] c'(t)=\vektor{\wurzel{2} \\ \wurzel{2}}
[/mm]
Vektorfeld = [mm] \vektor{1 \\ xy} [/mm] c eingesetzt in v [mm] \vektor{1 \\ (2,3+\wurzel{2}t)^2}
[/mm]
Nun das Integral [mm] \integral_{}^{}{\vektor{1 \\ (2,3+\wurzel{2}t)^2}\vektor{\wurzel{2} \\ \wurzel{2}} dt}
[/mm]
Aber ich glaube nicht das es stimmt,weil das soll eine Aufgabe sein die ohne TR zu lösen ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Di 29.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Integral ist ja einfach, was einfacheres weiss ich nicht.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Mi 30.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Aber prinzipiell stimmt die Vorgehensweise?
Bzw würden die Grenzen dann mit 2,30 und 3,71 stimmen?
Diese Kurvenintegral zähle ich dann noch zum Ergebnis des Kurvenintegral des Halbkreisbogens dazu oder?
und schlussendlich sollte das Ergebnis dann endlich mit dem Doppelintegral übereinstimmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Mi 30.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Grenzen stimmen mit [mm] 3-\sqrt{2}/2) [/mm] und [mm] 3+\sqrt{2}/2) [/mm]
und ja, man muß um den ganzen Rand integrieren
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
ich muss etwas an meiner Antwort korrigieren. Du möchtest ja nicht das Kugelvolumen berechnen, sondern die Halbsphäre im [mm] \IR^2. [/mm] Also bitte den letzten Kommentar vergessen. 
LG Ladon
|
|
|
|
