Kurvenintegral Kegeldeckfläche < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Do 24.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich habe folgenden Kegel K={ (x,y,z): [mm] x^2+y^2 \le z^2 [/mm] ,0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1 }
und das Vektorfeld [mm] v=\vektor{y \\ z \\ x} [/mm] gegeben.
Ich soll nun das Kurvenintegral [mm] \integral_{C}^{}{v dx} [/mm] berechnen wobei C die Kurve bezeichnet welche die Deckfläche von K berandet.
Die Deckfläche ist ja ein Kreis mit Radius 1 und bei z=1
also müsste meine Parametrisierung lauten [mm] x=\vektor{cos(x) \\ sin(x) \\ 1}
[/mm]
[mm] x'=\vektor{-sin(x) \\ cos(x) \\ 0}
[/mm]
x einsetzen in v liefert mir folgendes Ergebnis [mm] \vektor{sin(x) \\ 1 \\ cos(x)}
[/mm]
Nun das Integral : [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\vektor{sin(x) \\ 1 \\ cos(x)}\vektor{-sin(x) \\ cos(x) \\ 0} dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 24.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Bezeichnungen sind sehr irritierend!
du kannst doch x nicht doppelt verwenden, oder gar dreifach
a) als Ortsvektor, b) als Komponente von a) c) als Parameter.
also nimm als Parameter t
dein C: [mm] c(t)=\vektor{cos(t)\\ sin(t),1)
dein Vektorfeld eingesetzt ist mit deinen Bezeichnungen richtig, nur msste man dx=c'(t)dt setzen.
nun das Skalarprodukt ausführen und dann integrieren
}was [/mm] genau ist deine Frage?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 24.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Gut dann halt so:
[mm] c(t)=\vektor{cos(t) \\ sin(t) \\ 1}
[/mm]
[mm] c'(t)=\vektor{-sin(t) \\ cos(t)\\0}
[/mm]
c in v --> [mm] \vektor{sin(t) \\ 1 \\ cos(t)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\vektor{sin(t) \\ 1 \\ cos(t)}\vektor{-sin(t) \\ cos(t)\\0} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{-sin^2(t)+cos(t) dx}
[/mm]
Ergebnis nach etwas rechnen = - [mm] \pi
[/mm]
Stimmt das Ergebnis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Do 24.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, im letzten Integral dt statt dx
Gruss leduart
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