Kurvenintegral Potential < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Berechnen Sie die Rotationen der beiden Vektorfelder
K1(x,y,z)= [mm] \vektor{z \\ x^1 \\y} [/mm] und [mm] K2(x,y,z)=\vektor{2xy+z \\ x^2+2y \\x}
[/mm]
b) Welches der beiden besitzt ein Potential? Berechnen Sie solches.
c) Die dreidimensionale Kurve [mm] \gamma [/mm] sei gegebn durch [mm] \gamma: \vektor{1+t \\ t \\ 2-t}, t=\in[0,1]. [/mm] Berechnen Sie [mm] \integral_{\gamma} [/mm] Kl(x)ds, l=1,2 |
Hallo,
habe bei der Aufgabe ein paar Probleme =) Hoffe, dass hier ist die richtige Kategorie
a) ist ja noch nicht weiter schwer. Da muss man ja nur anwenden.
b) habe ich raus, dass das 2. Vektorfeld ein Potential hat, da rot=0
jetzt weiß ich aber nicht, wie ich das Potential dazu berechnen soll!
Komme da nicht wirklich weiter. Hab versucht mich an einer Beispielaufgabe zu orientieren. Ich weiß, dass man das wie eine gewöhnliche DGL löst, nur leider bin ich dadrin auch kein Profi;)
Habe jetzt folgendes:
[mm] f(x,y,z)=\integral [/mm] 2xy+z dx (hier hab ich einfach nach dx integriert)
=x^2y+xz+c(y,z)
[mm] fy(x,y,z)=x^2+c'y(y,z)=x^2+2y [/mm] (dann nach y abgeleitet und mit der 2. Zeile vom K2 gleichgesetzt)
c'y(y,z)=2y (dann bleibt das nur noch übrig)
doch wie mach ich jetzt weiter?
Sorry, für die ganzen fragen =)
Ich danke euch aber vielmals für eure Hilfe!
Gruß,
inseljohn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> a) Berechnen Sie die Rotationen der beiden Vektorfelder
> K1(x,y,z)= [mm]\vektor{z \\ x^1 \\y}[/mm] und
> [mm]K2(x,y,z)=\vektor{2xy+z \\ x^2+2y \\x}[/mm]
>
> b) Welches der beiden besitzt ein Potential? Berechnen Sie
> solches.
>
> c) Die dreidimensionale Kurve [mm]\gamma[/mm] sei gegebn durch
> [mm]\gamma: \vektor{1+t \\ t \\ 2-t}, t=\in[0,1].[/mm] Berechnen Sie
> [mm]\integral_{\gamma}[/mm] Kl(x)ds, l=1,2
> Hallo,
Hallo,
>
> habe bei der Aufgabe ein paar Probleme =) Hoffe, dass hier
> ist die richtige Kategorie
> a) ist ja noch nicht weiter schwer. Da muss man ja nur
> anwenden.
> b) habe ich raus, dass das 2. Vektorfeld ein Potential
> hat, da rot=0
> jetzt weiß ich aber nicht, wie ich das Potential dazu
> berechnen soll!
> Komme da nicht wirklich weiter. Hab versucht mich an
> einer Beispielaufgabe zu orientieren. Ich weiß, dass man
> das wie eine gewöhnliche DGL löst, nur leider bin ich
> dadrin auch kein Profi;)
> Habe jetzt folgendes:
>
> [mm]f(x,y,z)=\integral[/mm] 2xy+z dx (hier hab ich
> einfach nach dx integriert)
> =x^2y+xz+c(y,z)
Das sieht doch schonmal gut aus. Integriere entsprechend die 2. Zeile und die 3. Zeile nach y bzw. z. Wähle dann deine 3Konstanten so, dass du eine einzelne Funktion f(x,y,z) erhälst (denke an die weitere Integrationskonstante).
Gruß Patrick
> [mm]fy(x,y,z)=x^2+c'y(y,z)=x^2+2y[/mm] (dann nach y abgeleitet
> und mit der 2. Zeile vom K2 gleichgesetzt)
> c'y(y,z)=2y (dann bleibt
> das nur noch übrig)
>
> doch wie mach ich jetzt weiter?
> Sorry, für die ganzen fragen =)
>
> Ich danke euch aber vielmals für eure Hilfe!
>
> Gruß,
> inseljohn
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hey,
danke für deine Antwort. Ich hab da jetzt mal folgendes gerechnet.
[mm] f(x,y,z)=\integral [/mm] 2xy+z dx
=x^2y+xz+c(y,z)
[mm] fy(x,y,z)=x^2+c'y(y,z)=x^2+2y [/mm]
c'y(y,z)=2y
[mm] c(y,z)=y^2+d(z)
[/mm]
=> [mm] x^2y+xz+y^2+d(z)
[/mm]
fz(x,y,z,)=x+d'(z)=x
d'(z)=0
Damit erhalte ich als Potential folgendes:
[mm] x^2y+xz+y^2+c
[/mm]
Das wäre wirklich super nett, wenn mir jemand sagen könnte ob das richtig ist oder nicht? Kann man sowas eigentlich mit irgendeiner Mathesoftware nachrechnen?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
> danke für deine Antwort. Ich hab da jetzt mal folgendes
> gerechnet.
>
> [mm]f(x,y,z)=\integral[/mm] 2xy+z dx
> =x^2y+xz+c(y,z)
> [mm]fy(x,y,z)=x^2+c'y(y,z)=x^2+2y[/mm]
> c'y(y,z)=2y
> [mm]c(y,z)=y^2+d(z)[/mm]
> => [mm]x^2y+xz+y^2+d(z)[/mm]
>
> fz(x,y,z,)=x+d'(z)=x
> d'(z)=0
>
> Damit erhalte ich als Potential folgendes:
> [mm]x^2y+xz+y^2+c[/mm]
>
> Das wäre wirklich super nett, wenn mir jemand sagen
> könnte ob das richtig ist oder nicht?
Es stimmt
FRED
> Kann man sowas
> eigentlich mit irgendeiner Mathesoftware nachrechnen?
>
> Gruß
|
|
|
| |
|
Großartig, dann muss ich ja nur noch aufgabenteil c) packen..
bin mir da nicht ganz sicher..
hab da als anfangspunkt (1,0,2)
und als endpunkt (2,1,1)
das dann in die potfunktion eingesetzt, da komme ich dann auf (4+2+1)-2=5
dann [mm] \gamma [/mm] * K2(Vektorfeld 2)
dann [mm] \gamma [/mm] abgeleitet und das abgeleitet mal ergebniss aus [mm] \gamma*K2 [/mm] genommen.alles zusammengefasst und dann bekomm ich da
[mm] \integral_{0}^{1}{3t^2+4t+z *dt} [/mm] raus
das ergibt dann [mm] [t^3+2t^2+zt] [/mm] in den grenzen 0 bis 1.
Bekomm dann als ergebnis einfach nur
3+z raus.
Hab mich bei der vorgehensweise an eine beispielaufgabe orientiert. Bin da aber ein wenig skeptisch. Wäre wieder fantastisch, wenn mir jemand dazu was sagen könnte =) Vielen dank schon mal im voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Großartig, dann muss ich ja nur noch aufgabenteil c)
> packen..
>
> bin mir da nicht ganz sicher..
> hab da als anfangspunkt (1,0,2)
> und als endpunkt (2,1,1)
>
> das dann in die potfunktion eingesetzt, da komme ich dann
> auf (4+2+1)-2=5
> dann [mm]\gamma[/mm] * K2(Vektorfeld 2)
> dann [mm]\gamma[/mm] abgeleitet und das abgeleitet mal ergebniss
> aus [mm]\gamma*K2[/mm] genommen.alles zusammengefasst und dann
> bekomm ich da
> [mm]\integral_{0}^{1}{3t^2+4t+z *dt}[/mm] raus
Ich habs nicht nachgerechnet, aber stimmen kanns nicht. Was hat das z da zu suchen ?
FRED
>
> das ergibt dann [mm][t^3+2t^2+zt][/mm] in den grenzen 0 bis 1.
> Bekomm dann als ergebnis einfach nur
> 3+z raus.
>
> Hab mich bei der vorgehensweise an eine beispielaufgabe
> orientiert. Bin da aber ein wenig skeptisch. Wäre wieder
> fantastisch, wenn mir jemand dazu was sagen könnte =)
> Vielen dank schon mal im voraus!
>
|
|
|
| |
|
Ah ja, genau das habe ich mich gestern auch gefragt.
Nachdem ich heute morgen nochmal frisch an die Sache rangegangen bin, habe ich einen Fehler entdeckt, der mir schon öfter passiert ist;) meine 2 sieht einem Z irgendwie sehr ähnlich ;) Sehr ärgerlich. Muss ich sauberer schreiben.
Kann man so ne Rechnungen eigentlich mit einer Mathesoftware leicht nachrechnen?
Habe jetzt mal meine Rechnung als Foto angehängt. Finde ich deutlich angenehmer. Hoffe, man kann meine Schrift entziffern ;)
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") 1
Hier mal der direkte Link, da die Freischaltung hier ja ewig dauert
http://dream-hosting.de/image/images/rgh1285337282e.JPG
Tausend Dank nochmal an alle!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo inseljohn,
> Ah ja, genau das habe ich mich gestern auch gefragt.
> Nachdem ich heute morgen nochmal frisch an die Sache
> rangegangen bin, habe ich einen Fehler entdeckt, der mir
> schon öfter passiert ist;) meine 2 sieht einem Z irgendwie
> sehr ähnlich ;) Sehr ärgerlich. Muss ich sauberer
> schreiben.
>
> Kann man so ne Rechnungen eigentlich mit einer
> Mathesoftware leicht nachrechnen?
Klar geht das.
>
> Habe jetzt mal meine Rechnung als Foto angehängt. Finde
> ich deutlich angenehmer. Hoffe, man kann meine Schrift
> entziffern ;)
>
> 1
>
> Hier mal der direkte Link, da die Freischaltung hier ja
> ewig dauert
> http://dream-hosting.de/image/images/rgh1285337282e.JPG
Es muss hier heißen:
[mm]1*\left(2*t^{2}+t+2\right)+1*\left(t^{2}+4*t+1\right)\red{-1}*\left(t+1\right)=3*t^{2}+4*t+2[/mm]
>
> Tausend Dank nochmal an alle!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ah, doofer Fehler. Ärgerlich.
Ok, dann komme ich da auf 5.
Ich gehe mal davon aus, dass das jetzt stimmt.
Ich danke dir recht herzlich für deine Hilfe! Sehr nett von dir!
gruß
|
|
|
| |
|
Hallo inseljohn,
> Ah, doofer Fehler. Ärgerlich.
> Ok, dann komme ich da auf 5.
> Ich gehe mal davon aus, dass das jetzt stimmt.
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich danke dir recht herzlich für deine Hilfe! Sehr nett
> von dir!
Danke.
>
> gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
|
![[a]](uploads/forum/00715443/forum-i00715443-n001.JPG "Dateianhänge"){kind=small}
1