Kurvenintegral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Di 05.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Berechnen Sie für das Vektorfeld [mm] \vec{F}= xy\vec{i}-y^{2}\vec{j} [/mm] und jeden der nachfolgend genannten Wege C1...C4 welche die Punkte [mm] P_1(0/0) [/mm] und [mm] P_2(2/1) [/mm] verbinden, das Integral
[mm] W=\integral_{P_1}^{P_2}{\vec{F}d\vec{r}}
[/mm]
* [mm] C_1= [/mm] gerade Linie von P1 nach P2
* [mm] C_2 [/mm] Parabel
* [mm] C_3 [/mm] Wegstücke paralell zu den Achsen
* [mm] C_4 [/mm] duch x= [mm] 2t^{3} [/mm] und y= [mm] t^{2} [/mm] parametrisierter Weg |
Hallo!
Ich bin bei dieser Aufgabe ziemlich aufgeschmissen, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Ich weiß: d [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] dx\vec{i} [/mm] + dy [mm] \vec{j}
[/mm]
Für die gerade Linie denke ich muss man einfach die beiden Integrale
[mm] \integral_{p1}^{P2}{xy dx} [/mm] - [mm] \integral_{P1}^{P2}{y^{2}dy} [/mm] ausrechnen
was ergibt: 5/3
für die anderen kurven bin ich aber ratlos.
für die entlang der koordinatenachsen denke ich, muss man einmal
[mm] \integral_{P1}^{P3}{\vec(F)d\vec(r)} [/mm] + [mm] \integral_{P3}^{P2}{\vec(F)d\vec(r)} [/mm] mit P3= (0/1) analog ausrechnen.
ISt das für die gerade strecken die richtige Vorgehensweise?
Wie funktioniert das für die kurven?
Vielen Dank,
gruss muhmuh
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo muhmuh,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie für das Vektorfeld [mm]\vec{F}= xy\vec{i}-y^{2}\vec{j}[/mm]
> und jeden der nachfolgend genannten Wege C1...C4 welche die
> Punkte [mm]P_1(0/0)[/mm] und [mm]P_2(2/1)[/mm] verbinden, das Integral
> [mm]W=\integral_{P_1}^{P_2}{\vec{F}d\vec{r}}[/mm]
>
> * [mm]C_1=[/mm] gerade Linie von P1 nach P2
> * [mm]C_2[/mm] Parabel
> * [mm]C_3[/mm] Wegstücke paralell zu den Achsen
> * [mm]C_4[/mm] duch x= [mm]2t^{3}[/mm] und y= [mm]t^{2}[/mm] parametrisierter Weg
> Hallo!
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> Ich bin bei dieser Aufgabe ziemlich aufgeschmissen, ich
> hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
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> Ich weiß: d [mm]\vec{r}[/mm] = [mm]dx\vec{i}[/mm] + dy [mm]\vec{j}[/mm]
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> Für die gerade Linie denke ich muss man einfach die beiden
> Integrale
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> [mm]\integral_{p1}^{P2}{xy dx}[/mm] - [mm]\integral_{P1}^{P2}{y^{2}dy}[/mm]
> ausrechnen
> was ergibt: 5/3
>
> für die anderen kurven bin ich aber ratlos.
> für die entlang der koordinatenachsen denke ich, muss man
> einmal
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> [mm]\integral_{P1}^{P3}{\vec(F)d\vec(r)}[/mm] +
> [mm]\integral_{P3}^{P2}{\vec(F)d\vec(r)}[/mm] mit P3= (0/1) analog
> ausrechnen.
>
> ISt das für die gerade strecken die richtige
> Vorgehensweise?
>
> Wie funktioniert das für die kurven?
Erstmal mußt Du den Weg parametrisieren.
Für den ersten Weg gilt beispielsweise: [mm]x = 2t, \ y = t, \ 0 \le t \le 1[/mm]
Dann ist [mm]dx= 2 \ dt, \ dy = dt[/mm]
Und somit für das Integral:
[mm]\integral_{C_{1}}^{}{xy \ dx - y^{2} \ dy}= \ \integral_{t=0}^{1}2t*t*2 - t^{2} \ dt \ = \ \integral_{t=0}^{1}3*t^{2} \ dt[/mm]
Zunächst soll der Weg von [mm]C_{2}[/mm] eine Parabel sein.
Hier handelt es sich um keine Normalparabel,
sondern um die Parabel mit der Gleichung
[mm]y=2*x^{2}[/mm]
Wähle hier nun [mm]x=t[/mm], dann ergibt sich [mm]y=2*t^{2}[/mm]
Somit lautet die Parameterisierung: [mm]x=t, \ y=2Üt^{2}[/mm]
Davon bildest Du jetzt die Diffentiale
[mm] dx \ = \ ... \ dt[/mm]
[mm] dy \ = \ ... \ dt[/mm]
und setzt die in das Integral
[mm]\integral_{C_{2}}^{}{xy \ dx - y^{2} \ dy}[/mm]
ein.
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> Vielen Dank,
>
> gruss muhmuh
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 05.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
oh, da war ich nun wirklich auf dem holzweg...
für C1 habe ich nun 1 heraus
bei C2 bin ich mir nicht sicher ob ich alles richtig gemacht habe
ich schreibe mal meinen weg auf:
x=t [mm] y=2t^{2}
[/mm]
dx=dt dy=4tdt
[mm] 0\le [/mm] t [mm] \le1 [/mm] da weiss ich nicht warum das so gewählt wird???
bei einsetzen der Werte und Lösen des Integrals = [mm] -\bruch{7}{3}
[/mm]
ei C3 bin ihc mir ebenfalls unsicher
ich habe es über 2 gerade wege gemacht über den Punt P(0/1)
die Parametrisierung ist aber da:
Weg 1: x=0 y=t dx=0dt und dy=dt
weg 2: x=2t y= 0
und dx=2dt und dy=0dt
daher fällt das eine integral komplett weg.
und vom anderen ist das ergebnis der integration mit den grenzen 0 und 1 = -1/3
Stimmt das so?
bei c4 ist das ergebnis der integration 7/6
die frage die sich mir dann nur stellt ist die wie das mit dem t definiert ist in welchen grenzen man dies wählt.
danke fuer die hilfe!
gruß!
muhmuh
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Di 05.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
danKe jetzt hab ichs verstanden:)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
