Kurvenintegral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Fr 20.05.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Kurvenintegral
[mm] \integral_{\alpha} [/mm] (x dy- y dx)
für die Kurve [mm] \alpha: [a,b]\to \IR^2, \alpha(t):=e^t(\cos t,\sin [/mm] t) |
Ich weiß, dass man ein solches Kurvenintegral berechnet mit:
[mm] \integral_{\alpha} \omega:=\integral_a^b <\omega(\alpha(t)),\alpha'(t)> dt=\integral_a^b (\sum_{i=1}^n f_i(\alpha(t))\alpha'_i(t)) [/mm] dt
Wobei [mm] \omega [/mm] stetige Pfaffsche Form ist.
Ich verstehe aber nicht, was bei dieser Aufgabe es mit diesem Integranden (x dy -y dx) auf sich hat.
Bei Forster steht ergänzend noch, dass x und y hier die kanonischen Koordinatenfunktionen im [mm] \IR^2 [/mm] sein sollen (was auf dem Aufgabenzettel aber nicht extra da steht.)
Was bedeutet denn das?
Ist hier [mm] \omega=x [/mm] dy-y dx?
Irgendwie ist mir das wirr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Fr 20.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Mit [mm] \alpha=(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] ist
[mm] $\integral_{\alpha} [/mm] (x dy- y dx) [mm] =\integral_{a}^{b}{(\alpha_1(t) \alpha_2'(t)-\alpha_2(t) \alpha_1'(t)) dt}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 20.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay, danke..
Das muss ich erstmal verstehen!
Also nochmal langsam:D
Ist [mm] \omega=x [/mm] dy - y dx?
Wenn ichs verstanden habe, so kann man ja jede Pfaffsche Formen schreiben als
[mm] \omega=\sum_{i=1}^{n} f_idx_i
[/mm]
Ist hier nun
[mm] f_1=x, dx_1=dy
[/mm]
[mm] f_2=y, dx_2=dx [/mm] ?
Unter dem Integral steht ja:
[mm] <\omega(\alpha(t)),\alpha'(t)>
[/mm]
[mm] =
[/mm]
[mm] =<\underbrace{e^t\cdot \cos(t)}_{=\alpha_1}\cdot \underbrace{d e^t\sin(t)}_{=\alpha'_2}-\underbrace{e^t\sin(t)}_{=\alpha_2}\cdot \underbrace{d e^t\cos(t)}_{=\alpha'_1}, \alpha'(t)>
[/mm]
??
Jetzt habe ich im Grunde etwas Ähnliches, wie Du geschrieben hattest, nur--- Du hattest das glaube ich bekommen, indem Du dx und dy nicht weiter beachtet hast und auf das Ergebnis durch das Skalarprodukt mit [mm] \alpha'(t) [/mm] kommst.
Wieso kann man dx und dy einfach weglassen...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Fr 20.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Soll man für die Grenzen a und b eigentlich irgendwelche bestimmten Werte nehmen oder allgemein ausrechnen?--
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> Soll man für die Grenzen a und b eigentlich irgendwelche
> bestimmten Werte nehmen oder allgemein ausrechnen?--
Da für a und b keine konkreten Werte gegeben waren,
erledigt sich die Frage wohl von selbst.
Natürlich kannst du auch noch ein Zahlenbeispiel mit
liefern - und es vor allem als eigene Erfolgskontrolle
(mit geometrischer Probe) verwenden.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Sa 21.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay, danke..
>
> Das muss ich erstmal verstehen!
>
>
> Also nochmal langsam:D
>
> Ist [mm]\omega=x[/mm] dy - y dx?
>
> Wenn ichs verstanden habe, so kann man ja jede Pfaffsche
> Formen schreiben als
>
> [mm]\omega=\sum_{i=1}^{n} f_idx_i[/mm]
>
> Ist hier nun
>
> [mm]f_1=x, dx_1=dy[/mm]
> [mm]f_2=y, dx_2=dx[/mm] ?
>
> Unter dem Integral steht ja:
>
> [mm]<\omega(\alpha(t)),\alpha'(t)>[/mm]
>
> [mm]=[/mm]
>
> [mm]=<\underbrace{e^t\cdot \cos(t)}_{=\alpha_1}\cdot \underbrace{d e^t\sin(t)}_{=\alpha'_2}-\underbrace{e^t\sin(t)}_{=\alpha_2}\cdot \underbrace{d e^t\cos(t)}_{=\alpha'_1}, \alpha'(t)>[/mm]
>
> ??
>
> Jetzt habe ich im Grunde etwas Ähnliches, wie Du
> geschrieben hattest, nur--- Du hattest das glaube ich
> bekommen, indem Du dx und dy nicht weiter beachtet hast und
> auf das Ergebnis durch das Skalarprodukt mit [mm]\alpha'(t)[/mm]
> kommst.
>
> Wieso kann man dx und dy einfach weglassen...?
Ich habe nichts weggelassen ! Mit [mm] $f=(f_1,f_2)$ [/mm] ist
[mm] $\integral_{\alpha}^{}{(f_1(x,y) dx +f_2(x,y) dy)}
[/mm]
nur eine andere Schreibweise für
[mm] $\integral_{\alpha}^{}{f(x,y) *d(x,y)}$,
[/mm]
wobei das letzt Integral def. ist durch
[mm] \integral_{a}^{b}{f(\alpha(t))*\alpha'(t) dt}
[/mm]
FRED
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:10 Sa 21.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich weiß, dass Du nichts absichtlich weggelassen hast oder so und dass alles korrekt ist.
Ich verstehe bloß nicht, wo am Ende dy und dx bleiben.
Vielleicht erklärt es sich so:
[mm] \integral_{\alpha} \omega=\integral_a^b <\omega(\alpha(t)),\alpha'(t)>
[/mm]
= [mm] \integral_a^b <\sum_{i=1}^2 f_i(\alpha(t)) dx_i(\alpha(t)),\alpha'(t)>
[/mm]
wobei
[mm] f_1= x:(p_1,p_2)\mapsto p_1
[/mm]
[mm] f_2= y:(p_1,p_2)\mapsto p_2
[/mm]
[mm] dx_1=dy
[/mm]
[mm] dx_2=dx
[/mm]
Und weiter:
= [mm] \integral_a^b \sum_{i=1}^2 f_i(\alpha(t)) \underbrace{}_{=\alpha'_i}
[/mm]
= [mm] \integral_a^b [/mm] (Standardskalarprodukt)
So kommt man - denke ich - auf Deine Lösung.
Ich habe mich halt gefragt, wo dx und dy eigentlich bleiben und wieso man am Ende nur das Skalarprodukt aus [mm] f=(f_1,f_2) [/mm] und [mm] \alpha' [/mm] hat.
Ich hoffe, das ist so korrekt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Sa 21.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Jedenfalls habe ich dann als Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{5}\cdot 2(\cos(a)\cdot e^{2a}-2\sin(a)e^{2a}-(\cos(b)-2\sin(b))\cdot e^{2b}) [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Do 28.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Hallo,
Ist eine Wele her, aber ich habe das nochmal besser mal ausgerechnet und habe da Folgendes heraus:
[mm]\int_{\alpha}xdy-ydx=\frac{1}{2}(e^{2b}-e^{2a})[/mm].
[Bin am Anfang durcheinander gekommen mit der Koordinatendarstellung der Pfaffschen Form.]
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> Hallo,
>
> Ist eine Weile her, aber ich habe das nochmal besser mal
> ausgerechnet und habe da Folgendes heraus:
>
> [mm]\int_{\alpha}xdy-ydx=\frac{1}{2}(e^{2b}-e^{2a})[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") das ist richtig !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 23.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Okay, danke..
>
> Das muss ich erstmal verstehen!
>
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> Also nochmal langsam:D
>
> Ist [mm]\omega=x[/mm] dy - y dx?
>
> Wenn ichs verstanden habe, so kann man ja jede Pfaffsche
> Formen schreiben als
>
> [mm]\omega=\sum_{i=1}^{n} f_idx_i[/mm]
>
> Ist hier nun
>
> [mm]f_1=x, dx_1=dy[/mm]
> [mm]f_2=y, dx_2=dx[/mm] ?
>
> Unter dem Integral steht ja:
>
> [mm]<\omega(\alpha(t)),\alpha'(t)>[/mm]
>
> [mm]=[/mm]
>
> [mm]=<\underbrace{e^t\cdot \cos(t)}_{=\alpha_1}\cdot \underbrace{d e^t\sin(t)}_{=\alpha'_2}-\underbrace{e^t\sin(t)}_{=\alpha_2}\cdot \underbrace{d e^t\cos(t)}_{=\alpha'_1}, \alpha'(t)>[/mm]
>
> ??
>
> Jetzt habe ich im Grunde etwas Ähnliches, wie Du
> geschrieben hattest, nur--- Du hattest das glaube ich
> bekommen, indem Du dx und dy nicht weiter beachtet hast und
> auf das Ergebnis durch das Skalarprodukt mit [mm]\alpha'(t)[/mm]
> kommst.
>
> Wieso kann man dx und dy einfach weglassen...?
Das kann man auch viel einfacher sehen. x und y werden
durch die Parametrisierung zu Funktionen von t. Dabei ist
z.B. die Ableitung von x nach t:
[mm] $\dot{x}(t)\ [/mm] =\ [mm] \frac{dx}{dt}\ [/mm] =\ [mm] \frac{d}{dt}(e^t*cos(t))\ [/mm] =\ [mm] e^t*(cos(t)-sin(t))$
[/mm]
Daraus erhält man
$\ dx\ =\ [mm] e^t*(cos(t)-sin(t))*dt$
[/mm]
also $\ y*dx\ =\ [mm] e^t*sin(t)*e^t*(cos(t)-sin(t))*dt\ [/mm] =\ [mm] e^{2\,t}*(sin(t)*cos(t)-sin^2(t))$ [/mm]
Analog verfährt man mit der Ableitung [mm] \dot{y}(t) [/mm] , um dy und dann
$x*dy$ mittels t auszudrücken. Ins Integral einsetzen, den Integranden
vereinfachen und dann die Integration durchführen, Grenzen einsetzen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Do 28.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Dieser "alternative" Weg gefällt mir.
Da aber zu der Zeit, als ich die Aufgabe gestellt hatte, explizit Pfaffsche Formen durchgenommen wurden, wäre diese Lösungsidee wohl vielleicht ein bisschen zu weit davon entfernt gewesen.
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