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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Fr 02.05.2014 | | Autor: | engeltom |
| Aufgabe | Sei f(z) = [mm] \bruch{1}{z^2+1} [/mm] und [mm] \gamma [/mm] der Kreis mit Mittelpunkt i und Radius [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (orientiert gegen den Uhrzeigersinn). Berechnen Sie
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} [/mm] durch Partialbruchzerlegung. Hat somit f eine Stammfunktion auf ihrem Definitionsbereich? |
Hallo, ich habe bei dieser Aufgabe Probleme. Ich schreibe jetzt einfach mal, was ich bisher gerechnet habe und bitte euch, einmal durchzusehen, wo etwas nicht stimmt. Vielen Dank schonmal
Also [mm] \gamma(t)=i+\bruch{1}{2}*e^{it}
[/mm]
Die Partialbruchzerlegung der Funktion ist: [mm] f(z)=\bruch{i}{2}*(-\bruch{1}{z-i}+\bruch{1}{z+i})
[/mm]
Jetzt beginnt das Einsetzen und Integrieren:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}
[/mm]
[mm] =\bruch{i}{2}\integral_{0}^{2\pi}{(-\bruch{1}{0,5*e^i^t}+\bruch{1}{0,5*e^i^t+2i})*0,5*i*e^i^t dt}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{4}\integral_{0}^{2\pi}{-2}+\bruch{i*e^i^t}{e^i^t+4i}dt
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}Log(e^{it}+4i)]
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}(log\wurzel{8sin(t)+17})+iarctan(\bruch{sin(t)+4}{cos(t)})]
[/mm]
[mm] =\pi
[/mm]
Ich weiß nicht, wo der Fehler liegt, bin mir aber vor allem unsicher, ob es richtig integriert ist und ich den Log richtig angewandt habe. Unsere Definition von [mm] Log(z)=log(\Betrag{z})+iarctan(z)
[/mm]
Hinweis: Ich habe die Integralsgrenzen an den eckigen Klammern nicht hinbekommen. Diese stehen aber ja beim Integral dort.
Schon jetzt vielen Dank für Eure Hilfe. Gruß Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi grüß dich engeltom,
> Sei f(z) = [mm]\bruch{1}{z^2+1}[/mm] und [mm]\gamma[/mm] der Kreis mit
> Mittelpunkt i und Radius [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (orientiert gegen den
> Uhrzeigersinn). Berechnen Sie
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}[/mm] durch
> Partialbruchzerlegung. Hat somit f eine Stammfunktion auf
> ihrem Definitionsbereich?
> Hallo, ich habe bei dieser Aufgabe Probleme. Ich schreibe
> jetzt einfach mal, was ich bisher gerechnet habe und bitte
> euch, einmal durchzusehen, wo etwas nicht stimmt. Vielen
> Dank schonmal
>
> Also [mm]\gamma(t)=i+\bruch{1}{2}*e^{it}[/mm]
>
> Die Partialbruchzerlegung der Funktion ist:
> [mm]f(z)=\bruch{i}{2}*(-\bruch{1}{z-i}+\bruch{1}{z+i})[/mm]
>
> Jetzt beginnt das Einsetzen und Integrieren:
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{i}{2}\integral_{0}^{2\pi}{(-\bruch{1}{0,5*e^i^t}+\bruch{1}{0,5*e^i^t+2i})*0,5*i*e^i^t dt}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{1}{4}\integral_{0}^{2\pi}{-2}+\bruch{i*e^i^t}{e^i^t+4i}dt[/mm]
> [mm]=[\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}Log(e^{it}+4i)][/mm]
>
> [mm]=[\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}(log\wurzel{8sin(t)+17})+iarctan(\bruch{sin(t)+4}{cos(t)})][/mm]
> [mm]=\pi[/mm]
Ja, das sieht doch gut aus!
Allgemeiner Hinweis: Du kannst bereits hier die Grenzen einsetzen:
[mm] \int...=\left[\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}Log(e^{it}+4i)\right]^{2\pi}_0=\frac{1}{2}*2\pi-\frac{1}{4}Log(\underbrace{e^{2\pi{i}}}_{=1}+4i)-(\frac{1}{2}*0-\frac{1}{4}Log(\underbrace{e^{0}}_{=1}+4i))
[/mm]
[mm] =\pi-Log(1+4i)+Log(1+4i)
[/mm]
[mm] =\pi
[/mm]
Gibt also nix auszusetzen!
Hast du noch Fragen, dann einfach nochmal stellen. Dann helfen wir gern weiter!
Liebe Grüße und bis bald!
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