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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 So 23.05.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Gegeben Kurven [mm] T_1, T_2 \subset \mathbb{C} [/mm] durch [mm] \gamma_1, \gamma_2: [/mm] [0,2 [mm] \pi] \to \mathbb{C} [/mm] mit [mm] \gamma_1: [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] cos(t)+isin(t), [mm] \gamma_2 [/mm] : t [mm] \mapsto [/mm] acos(t)+bisin(t), a,b >0
zu zeigen: [mm] \int_{T_1} \frac{1}{z}dz [/mm] = [mm] \int_{T_2} \frac{1}{z}dz [/mm] |
Hallo.
Ich stehe vor dieser Aufgabe und bräuchte etwas Hilfe...
Ich habe bisher folgende Überlegungen angestellt:
Nach unserer Vorlesung gilt für eine Kurve C: z(t)=Rcos(t)+iRsin(t), 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi, [/mm] R [mm] \neq [/mm] 0, dass [mm] \int_C \frac{1}{z} [/mm] dz = 2 [mm] \pi [/mm] i, also gilt auch insbesondere für R=1: [mm] \int_{T_1} \frac{1}{z} [/mm] dz = 2 [mm] \pi [/mm] i. Für a=b ist also nichts zu zeigen.
Ich habe nun versucht, das Integral über der Kurve [mm] T_2 [/mm] direkt auszurechnen, versinke dabei aber in Additionstheoremen und komme nicht hin...
Herangehensweise für a [mm] \neq [/mm] b.
Man müsste wohl OE annehmen, dass a > b ist. Überlegungen:
1. Man könnte vielleicht irgendwie Kurve [mm] T_1 [/mm] mit [mm] T_2 [/mm] verknüpfen (wie geht das eigentlich? haben wir nie richtig definiert und leider finde ich nichts hilfreiches im Internet... :-(
Dann: [mm] \int_{T_1} \frac{1}{z} [/mm] dz= [mm] \int_{T_1} \frac{1}{z} [/mm] dz - [mm] \int_{T_2} \frac{1}{z} [/mm] dz + [mm] \int_{T_2} \frac{1}{z} [/mm] dz = [mm] \int_{\overline{T}} \frac{1}{z} [/mm] dz + [mm] \int_{T_2} \frac{1}{z} [/mm] dz , wobei [mm] \overline{T} [/mm] durch Verknüpfung von [mm] T_1 [/mm] und [mm] -T_2 [/mm] entsteht.
2. Jetzt wäre zu zeigen, dass [mm] \int_{\overline{T}} \frac{1}{z} [/mm] dz =0.
3. Wie könnte man vielleicht mit dem Integralsatz von Cauchy das beweisen? Wir haben den Cauchyschen Integralsatz so formuliert: "Sei f eine ganze Funktion, a [mm] \in \mathbb{C} [/mm] und sei C eine Kurve, C: [mm] Re^{it}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi, [/mm] R > |a|. Dann gilt f(a)= [mm] \frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-a} [/mm] dz". Hilft dieser Satz hier weiter? Wie kann ich zeigen, dass [mm] f(z)=\frac{1}{z} [/mm] auf ganz [mm] \mathbb{C} [/mm] differenzierbar ist?
Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar,
lg moerni
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[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm] sind der Einheitskreis und die Ellipse mit den Halbachsen [mm]a,b[/mm] um den Ursprung als Mittelpunkt, jeweils positiv orientiert. Jetzt berechne die Summe der Integrale über die grüne und die rote Kurve und begründe,
i) warum diese Summe einerseits 0 ist
ii) warum diese Summe andererseits gleich [mm]\int_{\gamma_1} \frac{\mathrm{d}z}{z} - \int_{\gamma_2} \frac{\mathrm{d}z}{z}[/mm] ist
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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