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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Di 05.07.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi Leuds !
Hab hier ne Aufgabe, dir mir eigentlich ganz verständlich ist, aber ich mir sehr unsicher bin, ob meine Gedanken so stimmen.
Gegeben ist irgendeine Funktion f(x,y), welche auf ein Polynom in zwei Variablen abbildet, es gelte grad [mm] f(x_0,y_0) \not=0 [/mm] für alle [mm] (x_0, y_0) [/mm] mit [mm] f(x_0, y_0)=0. [/mm]
Nun sei c: [mm] I\to \IR^2 [/mm] eine reguläre Kurve, mit |c'(t)|=1, sodass f(c(t))=0 für alle t [mm] \in [/mm] I gilt. Ich soll nun den Krümmungsradius von c in einem Punkte [mm] c_0 [/mm] := [mm] c(t_0) [/mm] als Funktion von f und seinen partiellen Ableitungen im Punkte [mm] c_0 [/mm] bestimmen !
Ich muss also [mm] c(t_0)' [/mm] und [mm] c(t_0)'' [/mm] wissen, dann die Determinante davon und ich wäre fertig...
Definiere ich erstmal c(t)=(h(t),m(t))
Also aus den Bedindungen folgt ja, dass f in allen Punkten der Kurve lokal umkehrbar ist (bzw. in diesem Intervall I ist die Funktion f eine Kurve) , da ja f(c(t))=0 und grad [mm] f(c(t))\not=0 [/mm] gilt. Also existiert für f eine Funktion [mm] g(x_0)=y_0 [/mm] mit f(x,g(x))=0
### So bisher müsste es richtig sein ###
Dann müßte das ja auch für die Kurve gelten !
[mm] f(c_0)=f(c(t_0))=f((h(t_0),g(h(t_0)))=0
[/mm]
Weiter gilt für f
g'=- [mm] \bruch{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)}
[/mm]
bzw. also [mm] g'(h(t_0))=- \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)}
[/mm]
bzw. das ganze Spiel könnte ich auf x machen:
Also wäre [mm] c'(t_0)= \vektor{ - \bruch{f_y(c_0)}{f_x(c_0)} \\ - \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)} }
[/mm]
Wäre das bisher richtig ? Oder hab ich [mal wieder] alles falsch angepackt bzw. zu kompliziert gedacht ?
Bitte um Rat bzw. Vorschläge ! Danke
Faenôl
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Hallo Faenol,
> Gegeben ist irgendeine Funktion f(x,y), welche auf ein
> Polynom in zwei Variablen abbildet, es gelte grad
> [mm]f(x_0,y_0) \not=0[/mm] für alle [mm](x_0, y_0)[/mm] mit [mm]f(x_0, y_0)=0.[/mm]
>
> Nun sei c: [mm]I\to \IR^2[/mm] eine reguläre Kurve, mit |c'(t)|=1,
> sodass f(c(t))=0 für alle t [mm]\in[/mm] I gilt. Ich soll nun den
> Krümmungsradius von c in einem Punkte [mm]c_0[/mm] := [mm]c(t_0)[/mm] als
> Funktion von f und seinen partiellen Ableitungen im Punkte
> [mm]c_0[/mm] bestimmen !
Die Formel für den Krümmungsradius einer expliziten Funktion y=f(x) ist ja bekannt.
>
> Ich muss also [mm]c(t_0)'[/mm] und [mm]c(t_0)''[/mm] wissen, dann die
> Determinante davon und ich wäre fertig...
>
> Definiere ich erstmal c(t)=(h(t),m(t))
Also f(c(t)) = f(h(t), m(t)).
>
> Also aus den Bedindungen folgt ja, dass f in allen Punkten
> der Kurve lokal umkehrbar ist (bzw. in diesem Intervall I
> ist die Funktion f eine Kurve) , da ja f(c(t))=0 und grad
> [mm]f(c(t))\not=0[/mm] gilt. Also existiert für f eine Funktion
> [mm]g(x_0)=y_0[/mm] mit f(x,g(x))=0
>
> ### So bisher müsste es richtig sein ###
>
> Dann müßte das ja auch für die Kurve gelten !
> [mm]f(c_0)=f(c(t_0))=f((h(t_0),g(h(t_0)))=0[/mm]
>
> Weiter gilt für f
> g'=- [mm]\bruch{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)}[/mm]
>
> bzw. also [mm]g'(h(t_0))=- \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)}[/mm]
>
> bzw. das ganze Spiel könnte ich auf x machen:
>
> Also wäre [mm]c'(t_0)= \vektor{ - \bruch{f_y(c_0)}{f_x(c_0)} \\ - \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)} }[/mm]
>
> Wäre das bisher richtig ? Oder hab ich [mal wieder] alles
> falsch angepackt bzw. zu kompliziert gedacht ?
Das wird wohl auf die Bestimmung sämtlicher Ableitungen von f( x(t), y(x(t)) )=0 hinauslaufen.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Di 05.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Faenol> Gegeben ist irgendeine Funktion f(x,y), welche auf ein
> Polynom in zwei Variablen abbildet, es gelte grad
> [mm]f(x_0,y_0) \not=0[/mm] für alle [mm](x_0, y_0)[/mm] mit [mm]f(x_0, y_0)=0.[/mm]
>
> Nun sei c: [mm]I\to \IR^2[/mm] eine reguläre Kurve, mit |c'(t)|=1,
> sodass f(c(t))=0 für alle t [mm]\in[/mm] I gilt. Ich soll nun den
> Krümmungsradius von c in einem Punkte [mm]c_0[/mm] := [mm]c(t_0)[/mm] als
> Funktion von f und seinen partiellen Ableitungen im Punkte
> [mm]c_0[/mm] bestimmen !
>
> Ich muss also [mm]c(t_0)'[/mm] und [mm]c(t_0)''[/mm] wissen, dann die
> Determinante davon und ich wäre fertig...
Wieso die Determinante davon? die Krümmung einer Kurve, die nach der Bogenlänge parametrisiert ist ist
k=|c''|
> Definiere ich erstmal c(t)=(h(t),m(t))
das ist für mich zu ungewohnt, lieber C= [mm] \vektor{x(t) \\ y(t)}
[/mm]
wegen C'=1 hat man dann gleich die
erste Gleichung x'^{2}+y'^{2}=1
> Also aus den Bedindungen folgt ja, dass f in allen Punkten
> der Kurve lokal umkehrbar ist (bzw. in diesem Intervall I
> ist die Funktion f eine Kurve) , da ja f(c(t))=0 und grad
> [mm]f(c(t))\not=0[/mm] gilt. Also existiert für f eine Funktion
> [mm]g(x_0)=y_0[/mm] mit f(x,g(x))=0
ich weiss nicht zuwas man g braucht.
>
> ### So bisher müsste es richtig sein ###
>
> Dann müßte das ja auch für die Kurve gelten !
> [mm]f(c_0)=f(c(t_0))=f((h(t_0),g(h(t_0)))=0[/mm]
Hab ich auch, nur bei mir f(x(t),y(t))=0 und damit gleich die 2. Gleichung:
[mm] f_{x}*x' [/mm] + [mm] f_{y}*y'=0 [/mm] und von oben
x'^{2}+y'^{2}=1
daraus x'^(2) und y'^{2} berechnen
x'^(2 = [mm] \bruch{f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}+f_{x}^{2}}
[/mm]
das noch mal differenzieren ergibt 2x'x'' nach x''^{2} auflösen bzw x'^{2} wieder einsetzen, dasselbe mit y'' und du hast als Summe das Quadrat der Krümmung
Das folgende ist, wie du ja an obigen siehst, einfach falsch
> Weiter gilt für f
> g'=- [mm]\bruch{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)}[/mm]
>
> bzw. also [mm]g'(h(t_0))=- \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)}[/mm]
>
> bzw. das ganze Spiel könnte ich auf x machen:
>
> Also wäre [mm]c'(t_0)= \vektor{ - \bruch{f_y(c_0)}{f_x(c_0)} \\ - \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)} }[/mm]
>
> Wäre das bisher richtig ? Oder hab ich [mal wieder] alles
> falsch angepackt bzw. zu kompliziert gedacht ?
eher zu einfach. Vielleicht hast du einfach nicht richtig gesehen, dass f(x,y)=c eine Höhenlinie also eine Kurve ist, und bist deshalb in die falsche Richtung marschiert. du hast z.Bsp die Vors. c'=1 gar nicht benutzt, und daran merkt man dann, dass man in der falschen Richtung läuft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Also wir haben die Krümmung allgemein einer Kurve so definiert !
K= [mm] \bruch{det(c'(t) c''(t))}{|c'(t)|^3}
[/mm]
Vielleicht magst du Recht haben, weil hier |c'(t)|=1 gilt und daraus dann:
c''(t)=K(Kreuz c'(t)) folgt, aber allgemein stimmt die Formel auf jeden Fall !
Ja, mit dem |c'(t)|=1 hast du wirklich Recht ! Mir hat das irgendwie auch zu Denken gegeben, dass ich das nicht miteinbezogen habe!
Die beiden Gleichungen habe ich auch und auch das selbe Ergebnis, aber die Gleichung dann erneut ableiten, ist das nicht bissle umständlich ?
Ich habs gemacht, komm da aber nicht wirklich auf etwas ! Da lässt sich doch nichts vereinfachen...
[mm] 2*x'*x''=\bruch{2*f_y*(f_{yx}*x'+f_{yy}*y')*(f_y^2+f_x^2)}{(f_y^2+f_x^2)^2}-\bruch{(2*f_y*(f_{yx}*x'+f_{yy}*y')+2*f_x*(f_{xx}*x'+f_{xy}*y'))*f_y^2}{(f_y^2+f_x^2)^2}
[/mm]
[mm] x'*x''=\bruch{f_y*(f_{yx}*x'+f_{yy}*y')*f_x^2}{(f_y^2+f_x^2)^2}-\bruch{f_x*(f_{xx}*x'+f_{xy}*y')*f_y^2}{(f_y^2+f_x^2)^2}
[/mm]
bzw. [mm] x'*x''=\bruch{y'*f_y*(f_{yx}*x'+f_{yy}*y')-x'*f_x*(f_{xx}*x'+f_{xy}*y')}{f_y^2+f_x^2}
[/mm]
bzw. für y analog (da symetrisch) (y durch x ersetzen)
Wie komme ich da nun auf etwas "sinnvolles" ?
Gruß
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mi 06.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Faenol
Du hast recht. Ich hatte da aufgehört, wo ich dir geschrieben habe, und gedacht, das Rezept geht einfach weiter. Im Moment seh ich aber auch keine gute Vereinfachung. Ich überleg noch mal
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 07.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab mich schlau gemacht, und jetzt einen besseren Vorschlag: wir hatten: 0. x'^{2}+y'^{2}=1
1. x'x''+y'y''=0 Und
2. [mm] f_{x}x'+f_{y}y'=0 [/mm] daraus (x'',y'') proportional [mm] (f_{x},f_{y}) [/mm] und damit:
[mm] \bruch{f_{x}x''+f_{y}y''}{\wurzel{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}} [/mm] =|(x'',y'')|=k bis aufs Vorzeichen
andererseits 2. noch mal nach t differenziert:
[mm] f_{xx}x'^{2}+f_{xy}x'y'+f_{x}x'' +f_{yx}y'x'+f_{yy}y'^{2}+f_{y}y''=0
[/mm]
darin einsetzen [mm] x'y'=-\bruch{f_{x})(f_{y})*x'^{2}} [/mm] und [mm] x'^{2}=\bruch{f_{y}^{2}}{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}
[/mm]
dann auflösen nach [mm] f_{x}x''+f_{y}y'' [/mm] und du bist fertig.
Ich hab nur das Formelschreiben satt!
Gruss leduart
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Hallo,
ich habe die gleiche Aufgabe gehabt. 
> > Dann müßte das ja auch für die Kurve gelten !
> > [mm]f(c_0)=f(c(t_0))=f((h(t_0),g(h(t_0)))=0[/mm]
> Hab ich auch, nur bei mir f(x(t),y(t))=0 und damit gleich
> die 2. Gleichung:
> [mm]f_{x}*x'[/mm] + [mm]f_{y}*y'=0[/mm] und von oben
> x'^{2}+y'^{2}=1
> daraus x'^(2) und y'^{2} berechnen
> x'^(2 = [mm]\bruch{f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}+f_{x}^{2}}[/mm]
> das noch mal differenzieren ergibt 2x'x'' nach x''^{2}
> auflösen bzw x'^{2} wieder einsetzen, dasselbe mit y'' und
> du hast als Summe das Quadrat der Krümmung
Für was steht eigentlich [mm]f_{x}*x'[/mm] + [mm]f_{y}*y'=0[/mm] ?
Und wieso folgt das aus der Tatsache, dass f(x(t),y(t))=0 gilt?
Gruß
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Di 12.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo> Hallo,
> Für was steht eigentlich [mm]f_{x}*x'[/mm] + [mm]f_{y}*y'=0[/mm] ?
das ist einfach [mm] \bruch{df}{dt} [/mm] und Kettenregel
> Und wieso folgt das aus der Tatsache, dass f(x(t),y(t))=0
> gilt?
es folgt auch, wenn f=const ist
Gruss leduart
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