Kurvenschar - DRINGEND ! < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo !
Habe folgende Funktionsschar vorliegen: [mm] f(x)=x^2-2ax+1 [/mm] (a E R, a>0).
Die 1. Ableitung lautet f'(x)=2x-2a
Wenn ich nun die 2. Ableitung bilden möchte, was passiert mit dem 2a ??? Wäre die 2. Ableitung ganz einfach f''(x)=2 ? Oder wie ?
Dann noch eine Frage:
Welche Kurven der Schar haben keine Nullstellen, welche haben genau eine Nullstelle ? Was muss ich wo und wie einsetzen ?
Danke im Voraus !!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren gestellt:
www.mathehotline.de
|
|
| |
|
Hallo!
a ist für jede Kurve aus der Kurvenschar eine Konstante, also:
[mm]f^{\prime\prime}(x)=2[/mm]
Für die Nullstellen hast du folgende Gleichung (in allgemeiner Form):
[mm]ax^{2}+bx+c=0[/mm]
Hier ist a eine andere Größe als bei dir.
Für die Diskussion der Lösungen dieser Gleichung musst du die Diskriminante [mm]\Delta[/mm] bilden:
[mm]\Delta=b^{2}-4ac[/mm]
[mm]\Delta > 0 \; \Rightarrow [/mm] zwei verschiedene reelle Lösungen
[mm]\Delta = 0 \; \Rightarrow [/mm] eine reelle Lösung (besser gesagt zwei gleiche reelle Lösungen)
[mm]\Delta < 0 \; \Rightarrow [/mm] keine reelle Lösung
Kommst du jetzt zurecht? Wenn nicht, frage weiter!
Schöne Grüße, 
Ladis
|
|
|
| |
|
Hallo erstmal !
Danke für die Hilfe. Okay, dann lag ich mit meiner 2. Ableitung ja doch richtig.
Also, was die Diskriminante angeht... da kann ich leider nicht viel mit anfangen. Bin doch nur Mathe Grundkurs...  Ich habe mich grundsätzlich erstmal an die pq-Formel gehalten. So habe ich die Nullstellen errechnet.
Bei mir hakt es jetzt allerdings beim Tiefpunkt. Die Koordinaten sollen - laut meiner Berechnung - [mm] T(a/-a^2+1) [/mm] sein. Kann das sein ? Oder habe ich mich verrechnet ?
Und wie sähe es mit Wendepunkten aus ? Ich kann doch die 2. Ableitung gar nicht mehr Null setzen !
Fragen über Fragen...
Danke und Gruß !
|
|
|
| |
|
Hallo!
Der TP ist richtig.
Du hast keine Wendepunkte, da die Gleichung [mm]f^{\prime\prime}(x)=0[/mm] keine Lösungen hat.
Schöne Grüße,
Ladis
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal !
Da bin ich ja doch beruhigt, dass ich den Tiefpunkt richtig berechnet habe. Leider kriege ich die Zeichnungen nun nicht hin. Kann es sein, dass ich mich bei den Nullstellen verrechnet habe ??? Habe als Ergebnisse [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=-2a-1. [/mm] Wo liegt mein Fehler ???
|
|
|
| |
|
Hallo!
Laut pq-Formel, ligen die Nullstellen bei:
[mm]x_{1}=a-\wurzel{a^{2}-1}\; und \; x_{2}=a+\wurzel{a^{2}-1}[/mm]
Hier lag dein Fehler. Hier musst du die drei Fälle unterscheiden:
[mm]a^{2}-1 > 0[/mm] zwei verschiedene Nullstellen
[mm]a^{2}-1 = 0[/mm] eine Nullstelle (x-Achse tangent zur Kurve)
[mm]a^{2}-1 < 0[/mm] keine Nullstelle
Hoffentlich ist es jetzt klarer.
Schöne Grüße,
Ladis
|
|
|
| |
|
Supi ! Jetzt ist alles paletti ! Nur noch eine kleine Verständnisfrage: Der Fall "keine Nullstelle" ist doch gar nicht möglich, da a>0 sein muss (s. Ausgangsfunktion), oder ?
Danke nochmals !
|
|
|
| |
|
Hallo Maike!
> Supi ! Jetzt ist alles paletti ! Nur noch eine kleine
> Verständnisfrage: Der Fall "keine Nullstelle" ist doch gar
> nicht möglich, da a>0 sein muss (s. Ausgangsfunktion), oder
> ?
Man muss die drei Fälle unterscheiden, nach der Lösung der Gleichung:
[mm]a^{2}=1[/mm].
[mm]a > 1[/mm]
[mm]a = 1[/mm]
[mm]a < 1[/mm]
Viel Spaß weiter beim Mathe-Lernen mit uns!
Schöne Grüße,
Ladis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 07.09.2004 | | Autor: | Emily |
> Supi ! Jetzt ist alles paletti ! Nur noch eine kleine
> Verständnisfrage: Der Fall "keine Nullstelle" ist doch gar
> nicht möglich, da a>0 sein muss (s. Ausgangsfunktion), oder
> ?
>
> Danke nochmals !
>
Hallo,
Der Fall "keine Nullstelle" ist möglich, für 0<a<1.
Schau bitte nochmal zu Fermat2k4 rein. (Diskriminante).
Liebe Grüße
Emily
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Di 07.09.2004 | | Autor: | MHaupt1979 |
Hi Emily !
Danke Dir ! Habe es selber schon festgestellt. Habe meine Gehirnzellen ein wenig in Bewegung gebracht...
Danke für den Hinweis !
Gruß, Maike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Di 07.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo MHaupt1979,
wieso schreibst du ![[]](/images/popup.gif) in dem anderen Mathe-Forum, du hättest bei uns die (falsche) Antwort $f''(x)=2a$ erhalten? Das kann ich in den Antworten hier nicht erkennen.
Ladis hat doch die richtige 2. Ableitung angegeben als f''(x)=2.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Di 07.09.2004 | | Autor: | MHaupt1979 |
Sorry, Marc, das war ein Tippfehler meinerseits ! Habe aber trotzdem zwei verschiedene Antworten: f"(x)=2 (von Ladis) und f''(x)=0. Rechne aber die ganze Zeit schon mit f''(x)=2.
Ich hoffe, da ist jetzt kein Denkfehler aufgetreten !?
Gruß, Maike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Di 07.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Maike,
> Sorry, Marc, das war ein Tippfehler meinerseits ! Habe aber
> trotzdem zwei verschiedene Antworten: f"(x)=2 (von Ladis)
> und f''(x)=0. Rechne aber die ganze Zeit schon mit
Und woher kommt die Antwort f''(x)=0?
Weder hier noch dort hast du doch diese Antwort bekommen.
Vielleicht kommst dein Irrtum hierhier:
Du schreibst dort:
MHaupt1979> Und dann ? Was passiert in der 2. Ableitung mit 2a ?
Und Friedrichlaher anwortet (richtig):
Friedrichlaher> da es eine Konstante ist wird es zu 0
Er meint also, dass 2a eine Konstante ist, die beim Ableiten verschwindet; er hat aber nichts über die gesamte 2. Ableitung geschrieben.
Nochmal alle Ableitungen auf einen Blick:
[mm] $f(x)=x^2 [/mm] - 2ax + 1$
$f'(x)=2x - 2a$
$f''(x)=2$
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Di 07.09.2004 | | Autor: | MHaupt1979 |
Danke, Marc ! Du hast mir mein Missverständnis vor Augen geführt. Tut mir leid ! Jetzt ist alles wieder im grünen Bereich !
Danke und... SORRY !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Di 07.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Maike,
> Danke, Marc ! Du hast mir mein Missverständnis vor Augen
> geführt. Tut mir leid ! Jetzt ist alles wieder im grünen
> Bereich !
>
> Danke und... SORRY !
(Auch auf deine Entschuldigung in diesem anderen Forum bezogen:)
Du brauchst dich für dein Missverständis nicht zu entschuldigen! Das gehört zum Lernen dazu.
Es ist nur so, dass man in diesem anderen Forum offenbar nicht gut auf uns zu sprechen ist, ein direkter Vergleich der beiden Foren und der beiden parallelen Diskussionen zeigt ja auch, warum.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Hi,
du hast ganz Recht. Die 2. Ableitung ist korrekt!
Du musst die Funktionsvorschrift einfach als quadratische Gleichung sehen und nach bekannten Verfahren lösen.
Du solltest folgendes herausbekommen:
x = a+ [mm] \wurzel{a^2 -1}
[/mm]
x = a- [mm] \wurzel{a^2 -1}
[/mm]
Nun, das interessante ist jetzt der Wurzelausdruck. Keine Nullstellen hat der Graph der Fkt. bei a < 1, da der Term unter der Wurzel negativ würde. Bei a = 1 gibt es genau eine Lösung und für a > 1 gibt es zwei.
MfG
Alex
|
|
|
|
