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Kurvenschar ln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Mi 14.01.2009
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Gegeben ist die Funktionenschar [mm] f_{a}(x)=ln(x)+ln(a-x) [/mm] ,a>0

a) Wie lautet die maximale Definitionsmege?
b)Untersuchen Sie f auf Extrema und Wendepunkte.
c)Untersuchen Sie die Funktionen [mm] f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] auf Nullstellen.
d)Zeigen Sie:Mögliche Nullstellen von [mm] f_{a} [/mm] erfüllen die Lösungsformel [mm] x_{1,2}=\bruch{a}{2}\pm\bruch{\wurzel{a^{2}-4}}{2} [/mm]
Für welche Werte von a gibt es keine Nullstellen/eine Nullstelle/zwei Nullstellen?
Welche Scharkurve hat eine ihrer Nullstellen bei x=2?
e)Welche Scharkurve hat ein Extremum mit der Ordinate y=1?

Hallo^^

ich mache grad diese Aufgabe und wollte mal fragen,ob das richtig ist,was ich berechnet habe.Und bei manchen Teilaufgaben komme ich nicht mehr weiter,hoffe ihr könnt mir helfen.

a) Definitionsmenge: a>x>0.Stimmt das so?

b)  [mm] f_{a}'(x)=\bruch{1}{x}-\bruch{1}{a-x} [/mm]

[mm] f_{a}''(x)=-\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1}{(a-x)^{2}} [/mm]

[mm] H(\bruch{a}{2}/2*ln(\bruch{a}{2})) [/mm]

Es gibt keine Wendepunkte.

c) ln(x)+ln(a-x)=0
[mm] e^{a-x}=-e^{x} [/mm]
[mm] -e^{a-2x}=1 [/mm]
[mm] x=\bruch{a}{2} [/mm]    
[mm] f_{2}(0)=1 [/mm] , [mm] f_{3}(0)=1.5 [/mm]

d) Hier stoße ich auf ein Problem.Den Anfang dieser Lösungsformel hab ich ja,nämlich [mm] \bruch{a}{2},aber [/mm] ich versteh nicht wie man auf den zweiten Ausdruck dieser Formel kommt ???

e) Ich hab einfach [mm] 2*ln(\bruch{a}{2})=1 [/mm] nach a aufgelöst,stimmt das so?
Für a hab ich 2e raus.

vielen dank
lg

        
Bezug
Kurvenschar ln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Mi 14.01.2009
Autor: ardik

Hallo Mandy_90,

> Gegeben ist die Funktionenschar [mm]f_{a}(x)=ln(x)+ln(a-x)[/mm] , a>0


> a) Definitionsmenge: a>x>0.Stimmt das so?

[ok]

> b)  [mm]f_{a}'(x)=\bruch{1}{x}-\bruch{1}{a-x}[/mm]
>  
> [mm]f_{a}''(x)=-\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1}{(a-x)^{2}}[/mm]
>  
> [mm]H(\bruch{a}{2}/2*ln(\bruch{a}{2}))[/mm]
>  
> Es gibt keine Wendepunkte.

Alles [ok]
  

> c) ln(x)+ln(a-x)=0
>  [mm]e^{a-x}=-e^{x}[/mm]

[notok]
Beachte:
[mm]\begin{matrix}\ln(a-x)&=&-\ln(x) \\ e^{\ln(a-x)} &=& e^{-\ln x} \\ a-x &=& x^{-1} \\ \end{matrix}[/mm]

  

> [mm]f_{2}(0)=1[/mm] , [mm]f_{3}(0)=1.5[/mm]

[notok]
Das ist ganz seltsam. Wie kannst Du x=0 einsetzen, wenn's doch gar nicht zur Definitionsmenge gehört. Und dann auch noch ein Ergebnis erhalten?

  

> d) Hier stoße ich auf ein Problem.Den Anfang dieser
> Lösungsformel hab ich ja,nämlich [mm]\bruch{a}{2},aber[/mm] ich
> versteh nicht wie man auf den zweiten Ausdruck dieser
> Formel kommt ???

Folgefehler von oben.

> e) Ich hab einfach [mm]2*ln(\bruch{a}{2})=1[/mm] nach a
> aufgelöst,stimmt das so?

Ansatz richtig, aber ...

>  Für a hab ich 2e raus.

... dann verrechnet.


Schöne Grüße
 ardik

Bezug
                
Bezug
Kurvenschar ln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Mi 14.01.2009
Autor: Mandy_90

vielen dank,    
> > c) ln(x)+ln(a-x)=0
>  >  [mm]e^{a-x}=-e^{x}[/mm]
>  
> [notok]
>  Beachte:
>  [mm]\begin{matrix}\ln(a-x)&=&-\ln(x) \\ e^{\ln(a-x)} &=& e^{-\ln x} \\ a-x &=& x^{-1} \\ \end{matrix}[/mm]
>  
>

Ich habs nochmal gerechnet und komme auf [mm] x=\bruch{1}{a-2},stimmts [/mm] jetzt?

> > [mm]f_{2}(0)=1[/mm] , [mm]f_{3}(0)=1.5[/mm]
>  [notok]
>  Das ist ganz seltsam. Wie kannst Du x=0 einsetzen, wenn's
> doch gar nicht zur Definitionsmenge gehört. Und dann auch
> noch ein Ergebnis erhalten?

Ich weiß nicht,in der Aufgabe steht,dass man die Funktionen [mm] f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] auf Nullstellen untersuchen soll,heißt das,die haben gar keine Nullstellen oder wie?
Aber die hab ich doch ausgerechnet.

>
> > d) Hier stoße ich auf ein Problem.Den Anfang dieser
> > Lösungsformel hab ich ja,nämlich [mm]\bruch{a}{2},aber[/mm] ich
> > versteh nicht wie man auf den zweiten Ausdruck dieser
> > Formel kommt ???
>  
> Folgefehler von oben.

Ok,jeztz hab ich zwar ein anderes Ergebnis,aber ich versteh immer noch nicht wie man auf diese Formel kommt,habt ihr da vielleicht nen kleinen Ansatz für mich?

> > e) Ich hab einfach [mm]2*ln(\bruch{a}{2})=1[/mm] nach a
> > aufgelöst,stimmt das so?
>  
> Ansatz richtig, aber ...
>  
> >  Für a hab ich 2e raus.

>  
> ... dann verrechnet.

Habs auch nochmal gemacht und komme auf [mm] a=2e^{0.5} [/mm]

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Kurvenschar ln: Aufgabe c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Mi 14.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Mandy!


[notok] Dein Ergebnis stimmt nicht. Gehen wir mal anders vor:
[mm] $$\ln(x)+\ln(a-x) [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$\ln\left[x*(a-x)\right] [/mm] \ = \ 0$$
$$x*(a-x) \ = \ [mm] e^0 [/mm] \ = \ 1$$
[mm] $$x^2-a*x+1 [/mm] \ = \ 0$$
Nun weiter mit MBp/q-Formel ...


Gruß
Loddar


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Kurvenschar ln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Mi 14.01.2009
Autor: Mandy_90


>  Nun weiter
> mit MBp/q-Formel ...
>  
>

vielen dank Loddar.
Mit der pq-Formel komme ich auf [mm] x=\bruch{a}{2}\pm\wurzel{\bruch{a^{2}}{4}-1}. [/mm]
Das ist aber nicht der Ausdruck,der in d) steht,hat man dort mit irgendetwas erweitert?

Bezug
                                        
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Kurvenschar ln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Mi 14.01.2009
Autor: Herby

Hallo Mandy,

du brauchst den Term unter der Wurzel nur auf den gleichen Nenner bringen. Dann noch:

[mm] \wurzel{\bruch{a}{b}}=\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}} [/mm]

anwenden

Liebe Grüße
Herby

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Kurvenschar ln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Mi 14.01.2009
Autor: Mandy_90

ok,vielen dank für eure Hilfe =)

Bezug
        
Bezug
Kurvenschar ln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Mi 14.01.2009
Autor: Mandy_90

hallo,bins nochmal

ich hab noch eine Frage zur d)

>  d)Zeigen Sie:Mögliche Nullstellen von [mm]f_{a}[/mm] erfüllen die
> Lösungsformel
> [mm]x_{1,2}=\bruch{a}{2}\pm\bruch{\wurzel{a^{2}-4}}{2}[/mm]
>  Für welche Werte von a gibt es keine Nullstellen/eine
> Nullstelle/zwei Nullstellen?
>  Welche Scharkurve hat eine ihrer Nullstellen bei x=2?

Die Lösungsformel hab ich ja jetzt gezeigt,sind meine folgenden Antworten auch richtig ?

keine Nullstelle:-2<a<2
eine [mm] Nullstelle:a=\pm2 [/mm]
Bei zwei Nullstellen wusste ich nicht,wie ich das rauskriegen soll,könnt ihr mir da helfen?

Und ich hab raus,dass die Scharkurve mit [mm] a=\wurzel{10} [/mm] eine Nullstelle bei x=2 hab,aber das stimmt nicht.
Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

[mm] \bruch{a}{2}+\wurzel{\bruch{a^{2}-4}{2}}=2 [/mm]

[mm] a+\wurzel{a^{2}-4}=4 [/mm]

[mm] \wurzel{a^{2}-4}=4-a [/mm]

[mm] a^{2}-4=16-a^{2} [/mm]

[mm] 2a^{2}=20 [/mm]

[mm] a=\wurzel{10} [/mm]

Weiß jemand wo mein Fehler liegt?

vielen dank

lg

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Kurvenschar ln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mi 14.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

> hallo,bins nochmal
>  
> ich hab noch eine Frage zur d)
>  
> >  d)Zeigen Sie:Mögliche Nullstellen von [mm]f_{a}[/mm] erfüllen die

> > Lösungsformel
> > [mm]x_{1,2}=\bruch{a}{2}\pm\bruch{\wurzel{a^{2}-4}}{2}[/mm]
>  >  Für welche Werte von a gibt es keine Nullstellen/eine
> > Nullstelle/zwei Nullstellen?
>  >  Welche Scharkurve hat eine ihrer Nullstellen bei x=2?
>  
> Die Lösungsformel hab ich ja jetzt gezeigt,sind meine
> folgenden Antworten auch richtig ?
>  
> keine Nullstelle:-2<a<2
>  eine [mm]Nullstelle:a=\pm2[/mm]
>  Bei zwei Nullstellen wusste ich nicht,wie ich das
> rauskriegen soll,könnt ihr mir da helfen?


Bei zwei verschiedenen Nullstellen muß der Ausdruck unter der Wurzel
größer als Null sein.


>  
> Und ich hab raus,dass die Scharkurve mit [mm]a=\wurzel{10}[/mm] eine
> Nullstelle bei x=2 hab,aber das stimmt nicht.


Die angeblich doppelte Nullstelle stimmt auch nicht.

Diese ist nur möglich für [mm]a=\pm2[/mm].

Demnach lauten die doppelten Nullstellen: [mm]x=\pm1[/mm]


>  Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
>  
> [mm]\bruch{a}{2}+\wurzel{\bruch{a^{2}-4}{2}}=2[/mm]
>  
> [mm]a+\wurzel{a^{2}-4}=4[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{a^{2}-4}=4-a[/mm]
>  
> [mm]a^{2}-4=16-a^{2}[/mm]
>  
> [mm]2a^{2}=20[/mm]
>  
> [mm]a=\wurzel{10}[/mm]
>  
> Weiß jemand wo mein Fehler liegt?
>  
> vielen dank
>  
> lg


Gruß
MathePower

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Kurvenschar ln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Mi 14.01.2009
Autor: Mandy_90

ok,vielen dank,
Ich versteh noch nicht so ganz,wie du drauf kommst, dass für [mm] a=\pm2 [/mm] eine Nullstelle 2 ist.?
Wie hast du das denn berechnet?

lg

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Kurvenschar ln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Mi 14.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

> ok,vielen dank,
>  Ich versteh noch nicht so ganz,wie du drauf kommst, dass
> für [mm]a=\pm2[/mm] eine Nullstelle 2 ist.?
>  Wie hast du das denn berechnet?


Ich habe geschrieben, daß x=2 keine doppelte Nullstelle ist.

Die Nullstelle ist nur für [mm]a=\pm 2[/mm] doppelt.
Das hast Du im übrigen hier selbst festgestellt.

Demnach ergibt sich die Nullstelle zu [mm]x=\bruch{\pm 2}{2}=\pm 1[/mm]


>  
> lg


Gruß
MathePower

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Bezug
Kurvenschar ln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:33 Mi 14.01.2009
Autor: Mandy_90

ja,ok das ist mir jetzt klar,aber das ist doch in der Aufgabe gefragt,die Aufgabenstellung kann doch nicht falsch sein oder?

lg

Bezug
                                                
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Kurvenschar ln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Mi 14.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

> ja,ok das ist mir jetzt klar,aber das ist doch in der
> Aufgabe gefragt,die Aufgabenstellung kann doch nicht falsch
> sein oder?


Sorry, ich hatte übersehen, daß noch festzustellen ist, welche
Scharkurve einen Nullstelle bei x=2 hat.


Natürlich mußt Du dann lösen

[mm]\bruch{a}{2}\pm\bruch{\wurzel{a^{2}-4}}{2}=2[/mm]

[mm]\gdw a \pm \wurzel{a^{2}-4}=4[/mm]

[mm]\gdw \pm \wurzel{a^{2}-4}=4-a[/mm]

[mm]\Rightarrow a^{2}-4=\left(4-a\right)^{2}[/mm]

So, jetzt das ausmultiplizieren und auflösen.


>  
> lg


Gruß
MathePower

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Kurvenschar ln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:13 Mi 14.01.2009
Autor: ardik

Hallo Mandy,


> [mm]\wurzel{a^{2}-4}=4-a[/mm]
>  
> [mm]a^{2}-4=16-a^{2}[/mm]

Auhauhau! ;-)

Auf der rechten Seite ist doch wohl bitte die Binomische Formel anzuwenden!

> Weiß jemand wo mein Fehler liegt?

Ja. ;-)

Schöne Grüße
 ardik

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