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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Mo 09.12.2013 | | Autor: | WhtFata |
| Aufgabe | Gegeben ist die in R definierte Funktionenschar
fa(x)= (1/2)*x²-ax²+(1/2)a²x mit a = R. Der Graph von fa heißt Ga.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass jede Funktion fa genau zwei verschiedene Nullstellen hat!
Beweisen Sie: fa(x)_>0 für x>0 fa (x)< 0 für x<0 |
Guten Abend, ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Ich habe durch ausklammern die erste immer vorhandene Nullstelle gefunden (0), aber habe noch nichtmal einen Ansatz, den Rest der ersten Teilaufgabe oder gar die zweite zu lösen. Ein wenig Hilfe wäre schön!
Danke im Voraus, WhtFata :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Gegeben ist die in R definierte Funktionenschar
> fa(x)= (1/2)*x²-ax²+(1/2)a²x mit a = R. Der Graph von
> fa heißt Ga.
Du meinst sicher: [mm] f_a(x):\IR\rightarrow \IR [/mm] mit [mm] f_a(x)=\frac{1}{2}x^2-ax^2+\frac{1}{2}a^2x [/mm] und [mm] a\in\IR.
[/mm]
> Zeigen Sie durch Rechnung, dass jede Funktion fa genau
> zwei verschiedene Nullstellen hat!
> Beweisen Sie: fa(x)_>0 für x>0 fa (x)< 0 für x<0
> Guten Abend, ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Ich
> habe durch ausklammern die erste immer vorhandene
> Nullstelle gefunden (0), aber habe noch nichtmal einen
> Ansatz, den Rest der ersten Teilaufgabe oder gar die zweite
> zu lösen. Ein wenig Hilfe wäre schön!
> Danke im Voraus, WhtFata :)
[mm] f_a(x)=\frac{1}{2}x^2-ax^2+\frac{1}{2}a^2x=x(\frac{1}{2}x-ax+\frac{1}{2}a^2)
[/mm]
[mm] f_a(x)=0, [/mm] falls [mm] x_1=0 [/mm] oder [mm] \phi_a(x):=\frac{1}{2}x-ax+\frac{1}{2}a^2=0.
[/mm]
[mm] \phi_a(x)=\frac{1}{2}x-ax+\frac{1}{2}a^2=0
[/mm]
[mm] \Longleftrightarrow
[/mm]
[mm] x-2ax+a^2=0
[/mm]
[mm] \Longleftrightarrow
[/mm]
[mm] a^2=2ax-x=x(2a-1) [/mm] mit [mm] x\not=x_1=0
[/mm]
[mm] \Longrightarrow x_2=\frac{a^2}{2a-1} [/mm] mit [mm] 2a-1\not=0, [/mm] also [mm] a\not=\frac{1}{2}
[/mm]
Für die zweite Teilaufgabe:
Betrachte [mm] f_a(x)=\frac{1}{2}x^2-ax^2+\frac{1}{2}a^2x
[/mm]
1.Fall: Sei $x>0$
2.Fall: Sei $x<0$
Tipp: Für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt [mm] x^2\ge0, [/mm] also vor Allem (auch) für $x<0$ 
Ansonsten kannst du auch Allgemein mit der Monotonie (über die Ableitung) argumentieren, aber ich glaube nicht, dass das viel kürzer ist.
edit: Siehe Korrektur: Eventuell kommst du zum Widerspruch!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
DieAcht
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:02 Di 10.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo DieAcht,
wie in meiner anderen Mitteilung schon geschrieben, geht es hier vermutlich um eine ganzrationale Schar dritter Ordnung. Die Aufgabenstellung ergibt sonst keinerlei Sinn.
Insbesondere war es jedoch ein Fehler, dies hier
> Für die zweite Teilaufgabe:
>
> Betrachte [mm]f_a(x)=\frac{1}{2}x^2-ax^2+\frac{1}{2}a^2x[/mm]
>
> 1.Fall: Sei [mm]x>0[/mm]
> 2.Fall: Sei [mm]x<0[/mm]
>
> Tipp: Für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt [mm]x^2\ge0,[/mm] also vor Allem (auch)
> für [mm]x<0[/mm]
>
> Ansonsten kannst du auch Allgemein mit der Monotonie (über
> die Ableitung) argumentieren, aber ich glaube nicht, dass
> das viel kürzer ist.
zu raten, bzw. zu bestätigen dass die Aufgabe lösbar sei: sie ist es nicht, was man schon aus den Symmtetrieeigenschaften quadratischer Funktionen ableiten kann.
Gruß, Diophant
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 15:21 Di 10.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo DieAcht,
>
> wie in meiner anderen Mitteilung schon geschrieben, geht es
> hier vermutlich um eine ganzrationale Schar dritter
> Ordnung. Die Aufgabenstellung ergibt sonst keinerlei Sinn.
Dann frage ich mich ernsthaft, wieso der Ersteller folgendes nicht lösen kann:
[mm] \frac{1}{2}x^2-ax+\frac{a^2}{2}=0
[/mm]
>
> Insbesondere war es jedoch ein Fehler, dies hier
>
> > Für die zweite Teilaufgabe:
> >
> > Betrachte [mm]f_a(x)=\frac{1}{2}x^2-ax^2+\frac{1}{2}a^2x[/mm]
> >
> > 1.Fall: Sei [mm]x>0[/mm]
> > 2.Fall: Sei [mm]x<0[/mm]
> >
> > Tipp: Für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt [mm]x^2\ge0,[/mm] also vor Allem
> (auch)
> > für [mm]x<0[/mm]
> >
> > Ansonsten kannst du auch Allgemein mit der Monotonie
> (über
> > die Ableitung) argumentieren, aber ich glaube nicht,
> dass
> > das viel kürzer ist.
>
> zu raten, bzw. zu bestätigen dass die Aufgabe lösbar sei:
> sie ist es nicht, was man schon aus den
> Symmtetrieeigenschaften quadratischer Funktionen ableiten
> kann.
Ich habe nicht bestätigt, dass die Aufgabe lösbar ist. Lediglich, dass er beide Fälle durchgehen soll.
Schließlich kommt man mit der Fallunterscheidung auf jedem Fall weiter, auch wenn es zu einem Widerspruch führt.
Ich könnte auch behaupten, dass der Ersteller dieser Frage anstatt "Überprüfen Sie.." oder "Beweisen oder widerlegen Sie.." einfach "Beweisen Sie.." geschrieben hat
Vermutlich hast du aber Recht.
Durch die Symmetrie geht es übrigens natürlich schneller 
>
>
> Gruß, Diophant
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Di 10.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich glaube, dass du hier die falsche Funktion angegeben hast. Meiner Ansicht nach muss dass
[mm] f_a(x)=\bruch{1}{2}x^3-a*x^2+\bruch{a^2}{2}x [/mm] ; [mm] a,x\in\IR
[/mm]
heißen. Anderenfalls ergibt die Aufgabenstellung keinen Sinn, insbesondere diese Frage:
> Beweisen Sie: fa(x)_>0 für x>0 fa (x)< 0 für x<0
Denn wenn die Schar qauadratisch wäre, so wären ihre Schaubilder bis auf einen Fall Parabeln. Und die haben eine senkrechte Symmetrieachse, das widerspricht obiger Behauptung.
Also kläre das mal und melde dich nochmal.
Gruß, Diophant
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