Kurvenuntersuchung e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für jedes [k [mm] \in \IR] [/mm] ; k > 0[/mm] ist eine Funktion [mm]f_k(x) = e^{kx} + e^{-kx}[/mm] gegeben.
a) Untersuchen sie die Symmetrieeigenschaften der Graphen der Funktionen [mm]f_k(x)[/mm] und [mm]f'_k(x)[/mm]. Weisen Siue nach, dass jede Funktion [mm]f_k(x)[/mm] die Differenzialgleichung [mm]y'' = k^2y[/mm] erfüllt.
b) Stellen sie die Graphen der Funktionen [mm]f_1[/mm] und [mm]f'_1[/mm] sowie [mm]f_2[/mm] und [mm]f'_2[/mm] auf einem grafikfähigen Taschenrechner dar.
c) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion [mm]f'_k[/mm] für [mm]x \to +\infty[/mm] genau dann eine nichtlineare Asymptote des Graphen der Funktion [mm]f_k[/mm] ist, wenn k = 1 gilt.
d) Mit [mm]t_{k;x_0}[/mm] sei die Tangentean den Graphen der Funktion [mm]f_k[/mm] im Punkt ([mm]x_0 ; f_k(x_0)[/mm] bezeichnet.
Weisen sie nach, dass für jedes k die Tangente [mm]t_{k;1}[/mm] und [mm]t_{1;k}[/mm] den gleichen Schnittpunkt mit der y-Achse besitzen.
e) Gegeben seien weiterhin Funktionen [mm]g_n[/mm] durch die Gleichung [mm]g_n(x) = \bruch{e^x + e^{-x}}{x^n}[/mm] mit [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]n > 0[/mm].
Ermitteln sie den Punkt P, durch den die Graphen aller Funktionen [mm]g_n[/mm] verlaufen.
Ermitteln sie außerdem die zwei Punkte [mm]Q_1[/mm] und [mm]Q_2[/mm], für die gilt: Der Graph jeder Funktion [mm]g_n[/mm] verläuft entweder durch [mm]Q_1[/mm] oder durch [mm]Q_2[/mm] .
Geben sie an, für welche n die Funktionsgraphen durch [mm]Q_1[/mm] und für welche n die Funktionsgraphen durch [mm]Q_2[/mm] verlaufen.
Überprüfen sie ihre Ergebnisse mithilfe der Darstellung der Graphen einiger Funktionen der Schar auf einem grafikfähigen Taschenrechner.
f) Untersuchen Sie das ver halten von [mm]g_n[/mm] für [mm]x \to +\infty[/mm] sowie [mm]x \to -\infty[/mm]. Treffen sie gegebenenfalls eine Fallunterscheidung für n. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
--- und ich habe null Plan. Ich weiß zwar in der Theorie wie man zum Beispiel die Symetrie nachweist, oder sowas macht, aber an der Aufgabe verzweifle ich noch.
ich wäre für jeden praktischen Ratschlag mehr als dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 So 06.05.2007 | | Autor: | nsche |
zu a)
um die Art der Symmetrie zu bestimmen brechnest du f(x) und f(-x) sowie f'(x) und f'(-x). Wenn du f''(x) bildest kannst du auch den 2. Teil der Aufgabe lösen.
vG
Norbert
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okay die a) hab ich komplett inzwischen. Ich habe herausgefunden, das es bei der Ausgangsfunktion mit [mm]f_k(-x)[/mm] eine Symetrie zur y-Achse gibt, aber keine Symetrie, weder zur y-Achse noch zum Origo, bei [mm]f'_k(-x)[/mm].
Auch die 2. Teilfrage bei a habe ich erkannt durch weiteres ableiten und anschließendes Ausklammern.
Kannst du mir, oder vielleicht jemand anderes sagen wie ich auf c) bis f) komme ... ( b) hab ich dank meinem GTR auch schon)
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Ein Graph nähert sich seiner Asymptote immer weiter an.
Bei dieser Funtion würde ich einfach mal |f(x)- f '(x)|für k=1 bilden. Dis ist konstant Null und somit hast du gezeigt, dass das mit der Asymptote stimmt.
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also wenn ich dieses [mm]\varepsilon[/mm] bilde komm ich auf
[mm]\varepsilon > | e^{kx} + e^{-kx} -ke^{kx} + ke^{-kx}|[/mm] für k = 1 bleibt dann nur noch [mm]\varepsilon > | 2e^{-x}|[/mm] übrig und wenn ich nun x gegen unendlich laufen lase komm ich auf 0.
Aber was hat das nun mit der Frage zu tun, dass es bei k = 1 eine nichtlineare Asymptote gibt? Oder hab ich was übersehen/falschgemacht oder ~verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Killerchicken!
Für die Tangenten verwenden wir hier die Punkt-Steigungs-Form für Geraden:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_0}{x-x_0}$
[/mm]
Dabei entspricht hier die Tangentensteigung [mm] $m_t$ [/mm] der Steigung der Kurve an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ ; also: [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f_k'(x_0) [/mm] \ = \ [mm] f_k'(1) [/mm] \ = \ [mm] k*e^{k}-k*e^{-k}$
[/mm]
Und [mm] $y_0$ [/mm] ist der Funktionswert [mm] $f_k(x_0) [/mm] \ = \ [mm] f_k(1) [/mm] \ = \ [mm] e^k+e^{-k}$ [/mm] .
Dies mal in o.g. Formel einsetzen und anschließend nach $y \ = \ ...$ umstellen.
Dasselbe machst Du dann für $k \ = \ 1$ und an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ k$ :
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f_1'(k) [/mm] \ = \ [mm] 1*e^{1*k}-1*e^{-1*k} [/mm] \ = \ [mm] e^{k}-e^{-k}$
[/mm]
[mm] $y_0 [/mm] \ = \ [mm] f_1(k) [/mm] \ = \ ...$
Und anschließend dann die Absolutglieder der beiden Tangenten vergleichen.
Gruß
Loddar
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Damit ist die Asymptote für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] die x-Achse, also eine Gerade und damit lineare Funktion.
Funktion.
