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| Aufgabe | | Wie lautet die Ableitung von [mm] \wurzel[]{arcsin(\bruch{x}{2})} [/mm] |
Guten Morgen,
wie lautet die Ableitung der obigen Funktion?
Meine Idee dazu ist:
[mm] arcsin^{\bruch{1}{2}}(\bruch{x}{2})
[/mm]
u = [mm] arcsin(\bruch{x}{2})
[/mm]
-> [mm] u^{\bruch{1}{2}} [/mm] ist die äußere Funktion und ist abgeleitet:
[mm] \bruch{1}{2}u^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] arcsin(\bruch{x}{2}) [/mm] ist die innere Funktion und ist abgeleitet:
[mm] \bruch{1}{\wurzel[]{1-(\bruch{x}{2})^{2}}}
[/mm]
daraus würde folgen:
f´(x) = [mm] \bruch{1}{2}u^{-\bruch{1}{2}} \bruch{1}{\wurzel[]{1-(\bruch{x}{2})^{2}}}
[/mm]
f´(x) = [mm] \bruch{1}{2}arcsin^{-\bruch{1}{2}} (\bruch{x}{2}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel[]{1-(\bruch{x}{2})^{2}}}
[/mm]
richtig oder falsch?
könnte man nun noch schöner hinschreiben, aber geht mir grad eher ums Verständnis.
Grüße
ragna
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Hallo,
> $ [mm] arcsin(\bruch{x}{2}) [/mm] $ ist die innere Funktion und ist abgeleitet:
> $ [mm] \bruch{1}{\wurzel[]{1-(\bruch{x}{2})^{2}}} [/mm] $
Das stimmt leider nicht.
Vermutlich hast du das einfach von [mm] $\arcsin'(x)=\bruch{1}{\wurzel[]{1-x^{2}}}$ [/mm] her geraten.
Wir sollten uns vielleicht im Klaren werden, wie man [mm] f(x)=y=\arcsin(x) [/mm] ableitet. Dazu geht man über die Umkehrfunktion [mm] g(y)=\sin(y)
[/mm]
Im Allgemeinen gilt [mm] \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}. [/mm] Also bilden wird die Ableitung der Umkehrfunktion: [mm] g'(y)=\cos(y)
[/mm]
Demnach ist [mm] f'(x)=\frac{1}{g'(x)}=\frac{1}{\cos(y)}=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}.
[/mm]
Nun gilt [mm] \cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)} [/mm] wg trigonometrischen Pythagoras.
Also [mm] \frac{1}{\cos(\arcsin(x))}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
[/mm]
Ich wollte das nochmal hier stehen haben. Was ändert sich da nun, wenn das Argument [mm] \frac{x}{2} [/mm] ist?
Einfacher geht übrigens die Kettenregel.  Da musst du eben die Funktion [mm] \frac{x}{2} [/mm] auch noch einmal ableiten.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Ragnaroek |
Hey, danke für die umfangreiche Antwort.
Ja stimmt, ich dachte man substituiert einfach x/2.. aber hab dann wohl die Kettenregel vernachlässigt. Danke auch für die Ableitung!
Habs über die Kettenregel lösen können.
Grüße
Ragna
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