Kurze Verständnisfrage < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Di 27.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hallo Leute,
ich steh grad etwas neben mir und hoff mal hier kann mir jemand weiterhelfen.
Und zwar frag ich mich im Moment warum eine Verteilungsfunktion eigentlich rechtsseitig stetig sein muss.
Kann mir das schnell jemand erklären??
Besten Dank schon mal.
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Hallo kegel,
Verteilungsfunktionen werden (vermutlich) so definiert, da man dann durch
[mm] $P\{(a,b]\} [/mm] := F(b) - F(a)$ eine bijektive Zuordnung zwischen den W-Maßen auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] und den Verteilungsfunktionen erhält. Es ist $F(x) := [mm] P((-\infty,x])$ [/mm] offensichtlich rechtsseitig stetig!
Gruß mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo kegel,
>
> Verteilungsfunktionen werden (vermutlich) so definiert, da
> man dann durch
> [mm]P\{(a,b]\} := F(b) - F(a)[/mm] eine bijektive Zuordnung zwischen
> den W-Maßen auf [mm](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/mm] und den
> Verteilungsfunktionen erhält. Es ist [mm]F(x) := P((-\infty,x])[/mm]
> offensichtlich rechtsseitig stetig!
So etwas liebe ich: "offensichtlich". Meine Studenten würden mich steinigen, wenn ich so etwas in einer Vorlesung brächte.
FRED
>
> Gruß mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Di 27.07.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Fred,
da ich die Frage so verstanden habe, dass nach dem Sinn eines Definitionsteils (rechtsseitige Stetigkeit) gefragt wurde, habe ich nur den Sinn der Definition verständlich gemacht!
Ich habe also nur auf den Zusammenhang hingewiesen, und angenommen, dass der Beweis für die rechtsseitige Stetigkeit von $F(x) := [mm] P((-\infty,x])$ [/mm] bekannt (und somit offensichtlich) ist. Ich bitte also das "offensichtlich" in diesem Sinne zu entschuldigen.
Gruß mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> da ich die Frage so verstanden habe, dass nach dem Sinn
> eines Definitionsteils (rechtsseitige Stetigkeit) gefragt
> wurde, habe ich nur den Sinn der Definition verständlich
> gemacht!
> Ich habe also nur auf den Zusammenhang hingewiesen, und
> angenommen, dass der Beweis für die rechtsseitige
> Stetigkeit von [mm]F(x) := P((-\infty,x])[/mm] bekannt (und somit
> offensichtlich) ist.
Komisch .....
kegel hat gefragt: ".......warum eine Verteilungsfunktion eigentlich rechtsseitig stetig sein muss. "
FRED
> Ich bitte also das "offensichtlich" in
> diesem Sinne zu entschuldigen.
>
> Gruß mathfunnel
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 27.07.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Fred,
ich denke, hier gibt es ein Missverständnis. Es gibt eine Definition von Verteilungsfunktion, die die rechtsseitige Stetigkeit als Teil enthält! Da gefragt wurde, warum eine Verteilungsfunktion rechtsseitig stetig sein "'muss"', habe ich interpretiert, dass die Frage lautet: Warum "'muss"' eine Verteilungsfunktion in der Definition die rechtsseitige Stetigkeit enthalten. Sonst sollte man vielleicht eher fragen: Warum "'ist"' eine Verteilungsfunktion rechtsseitig stetig?
Ich hoffe, dass ich damit den Sinn meiner Interpretation der Frage deutlich machen konnte.
In welchem Sinn die Frage zu tatsächlich zu interpretieren ist, kann uns wahrscheinlich nur kegel beantworten.
Gruß mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Di 27.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Sorry Leute, ich bin etwas durcheinander gekommen, was Satz und Definition betrifft.
Ich war zuerst der Meinung wir hätte die Rechtsstetigkeit in der Definition der Verteilungsfunktion gefordert und da hab ich mich gefragt warum das so sein muss. Das hat mathfunnel ja dann erklärt.
Allerdings hab ich nun festgestellt, dass wir die Rechtsstetigkeit gar nicht in der Definiton drin hatten, sondern tatsächlich in einem späteren Satz beweisen haben, dass eine Verteilungsfunktion nach unserer Definition rechtsstetig sein muss.
Also so oder so ist nun alles klar und vielen Dank euch allen!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Di 27.07.2010 | | Autor: | gfm |
> siehe unten
> Hallo Leute,
> ich steh grad etwas neben mir und hoff mal hier kann mir
> jemand weiterhelfen.
>
> Und zwar frag ich mich im Moment warum eine
> Verteilungsfunktion eigentlich rechtsseitig stetig sein
> muss.
> Kann mir das schnell jemand erklären??
> Besten Dank schon mal.
Sei [mm] x>x_0 [/mm] und [mm] P_X [/mm] das Bildmaß von P bezüglich einer ZV X und [mm] F_X(t):=P_X(-\infty,t]) [/mm] deren Verteilungsfunktion. Dann ist wegen [mm] (-\infty,x_0]\subset(-\infty,x]
[/mm]
[mm] F_X(x)-F_X(x_0)=P_X((-\infty,x])-P_X((-\infty,x_0])=P_X((-\infty,x]\backslash(-\infty,x_0])=P_X((x_0,x])
[/mm]
Sei nun [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine monoton fallende Folge mit [mm] x_n\to x_0. [/mm] Dann ist [mm] A_n:=(x_0,x_n] [/mm] eine monoton fallende (oder auch absteigende) Folge von Mengen [mm] (A_1\supseteq A_{2}\supseteq...) [/mm] mit [mm] \cap A_n=\emptyset. [/mm]
Jedes Maß besitzt die sog. Stetigkeit von oben, eben dass für eine solche Mengenfolge, wenn [mm] \mu(A_1)<\infty [/mm] gilt, folgt, dass [mm] \mu(\cap A_n)=\mu(\emptyset)=0 [/mm] gilt.
Damit strebt [mm] F(x_n) [/mm] von oben gegen [mm] F(x_0), [/mm] wenn [mm] x_n [/mm] von rechts gegen [mm] x_0 [/mm] strebt.
LG
gfm
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