Kvgz. der Binomialreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche [mm] \alpha\in \IC [/mm] und [mm] z\in \IC [/mm] mit |z|=1 konvergiert die Binomialreihe def durch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\vektor{n+\alpha \\ n}z^n [/mm] ? |
Hallo zusammen,
der Einheitskreis ist ja der Rand des Konvergenzbereichs der Reihe völlig unabhängig von [mm] \alpha. [/mm] Die holomorphe Fkt, die dort durch die Reihe definiert wird, lautet [mm] (1-z)^{-\alpha-1}. [/mm] Die Frage ist also: Was passiert mit der Reihe auf dem Rand?
Wahrscheinlich gilt folgendes:
1.) abs Kvgz für: [mm] Re(\alpha)<-1
[/mm]
2.) Kvgz, aber nicht abs, für: -1 [mm] \le Re(\alpha)<0 [/mm] und [mm] z\not=1
[/mm]
3.) Divergenz für: [mm] Re(\alpha) \ge [/mm] 0 oder (-1 [mm] \le Re(\alpha)<0 [/mm] und z=1)
Ich bräuchte nun eine Begründung dafür. Ein vollständiger Beweis muss es natürlich nicht sein. Eher eine etwas detailliertere Idee. Benutzt werden kann im Übrigen folgende asymptotische Gleichheit [mm] \vektor{n+\alpha \\ n} \sim \bruch{n^\alpha}{\Gamma (\alpha+1)}, [/mm] falls nötig.
Also falls mir da irgendwer helfen kann, wär das echt mal spitze!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
den Koeffizienten kannst du doch explizit angeben und dann Quotientenkriterium verwenden um deine Idee zu bestätigen, das ist doch eine gewöhnliche Potenzreihe.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hallo Hund!
Dein Vorschlag löst möglicherweise nur einen kleinen Teil des Problems. Zumal man mit dem Quotientenkriterium ja nur absolute Konvergenz zeigt. Die liegt aber für [mm] Re(\alpha) \le [/mm] -1 gewiss nicht vor.
Hat also leider nicht wirklich geholfen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 04.09.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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