Kvgz einer "e-ähnlichen" Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 So 17.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Hi!
Bin auf folgende Folge gekommen als ich mir selbst Aufgaben gestellt hab...
Konvergiert die Folge [mm] (1+1/n)^{(1+1/n)^{(1+1/n)^{n^{n^n}}}} [/mm] ?
Hat ja bißchen Ähnlichkeit mit der Standardfolge die gegen e konvergiert.
Ein Matheprogramm behauptet, es würde gegen 1 konvergieren, intuitiv glaube ich das aber nicht.
Hab bis jetzt noch keine vernünftige Herangehensweise an das Problem gefunden, wär schön, wenn mir jemand Tipps geben könnte.
Einen Logarithmus drauf los zu lassen oder Monotonie zu untersuchen hat mich bis jetzt noch nicht wirklich weitergebracht.
Man kann sich auch nicht ohne Stress ein paar Glieder der Folge ausrechnen lassen, das ganze ist für n=2 in unglaublichen Größenordnungen und bei späten Gliedern bräuchte man auch unglaubliche Rechengenauigkeit um irgendwas zu kriegen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mo 18.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Hallo unixfan,
die Folge konvergiert klar gegen unendlich - übrigens egal, ob du die Potenzen in der üblichen Prioritätsreihenfolge (von oben nach unten) ausführst, oder umgekehrt (von unten nach oben). Letzteres wäre unüblich, da du bei dieser Interpretation ja gleich hättest
[mm](1+1/n)^{(1+1/n)^2\cdot n^3}[/mm]
schreiben können.
Bleiben wir bei ersterem, da kann man nämlich einfach mit Bernoulli-Ungleichung für [mm] $n\geq [/mm] 2$ abschätzen:
[mm] $$\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n^{n^n}} \geq \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} [/mm] = [mm] \left[ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \right]^n \geq 2^n$$
[/mm]
Und weiter dann wegen [mm] $2^n \geq n^2$ [/mm] für [mm] $n\geq [/mm] 4$:
[mm] $$\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n^{n^n}}} \geq \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2^n} \geq \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \geq 2^n$$
[/mm]
und nochmal
[mm] $$\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n^{n^n}}}} \geq \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2^n} \geq 2^n$$
[/mm]
Damit ist das unbeschränkte Wachstum der Folge gezeigt.
Gruß,
Dirk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Di 19.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:06 Di 19.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Hallo!
Eigentlich ist das hier keine echte Frage zu der Antwort sondern gehört eher ins Forum Mathe-Software. Aber ich halte es nicht für wirklich sinnvoll nochmal alles zu kopieren.
Mich hat die Antwort überzeugt, in der gezeigt wird dass die Folge über alle Schranken wächst.
Was mich etwas nachdenklich macht, ist dass verschiedene Taschenrechner und Mathesoftware zu verschiedenen Ergebnissen kommen. Hab in der Uni mal ein paar Sachen durchprobiert:
Mathematica: 1
Limit[(1 + 1/n)^((1 + 1/n)^((1 + 1/n)^(n^(n^n)))), n -> \[Infinity]]
1
Derive: konnte es garnicht lösen, zumindest nicht die bei uns verfügbare Version
Maple: unendlich
> limit((1+1/n)^((1+1/n)^((1+1/n)^(n^(n^n)))),n=infinity);
infinity
ein grafischer Taschenrechner: 1
Wie kann das sein? Mein Vertrauen in Mathematica ist erschüttert. Oder mache ich irgendwas falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 21.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
