L-integration, zeige das f(x) < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:59 Do 11.01.2007 | | Autor: | kami |
| Aufgabe | f:[a,b] [mm] \to \IC [/mm] Lebesgue Integrierbar mit [mm] \integral_{I}^{}{f(x) dx}=0 [/mm] für jedes Teilintervall I [mm] \subset [/mm] [a,b]. Mit Hilfe der folgende Schritte zeige man: f(x)=0 L-fast überall:
a) [mm] \integral_{a}^{b}{g(x)f(x) dx}=0 [/mm] für jede Treppenfunktion g
b) [mm] \integral_{A}^{}{f(x) dx}=0 [/mm] für jede L-messbare Teilmenge A [mm] \subset [/mm] [a,b]
c) ist h:[a,b] [mm] \to \IR, [/mm] h(x) [mm] \ge [/mm] 0 L-integrierbar und [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx}=0, [/mm] so ist h(x)=0 Lebesgue fast überall.
d) f(x)=0 Lebesgue fast überall |
Also zu den Teilaufgabe a-c ist mir was eingefallen, ich hoffe mal was halbwegs richtiges. Bei der d hab ich ehrlich gesagt keinen Plan, wie ich das dann zusammenfasse
a)
Wenn man das Integrall auf einzelne Teilintervalle a = [mm] a_{0} \le a_{0} \le b=a_{n} [/mm] zerlegt, auf denen g jeweils konstant ist, ergibt sich:
[mm] \integral_{a}^{b}{g(x)f(x) dx}= \summe_{i=1}^{n} \integral_{a_{n}}^{a_{n+1}}{g(x)f(x) dx}
[/mm]
da nun g auf jedem Teilintervall konstant ist, erhält man
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] g(x) [mm] \integral_{a_{n}}^{a_{n+4}}{f(x) dx}
[/mm]
und [mm] \integral_{a_{n}}^{a_{n+1}}{f(x) dx}
[/mm]
ist nach Aufgabenstellung ja (auf jedem Teilintervall) gleich Null.
b)
Laut Satz im Skript ist dann auch das Komplement von A Messbar. Nach der Definition von einer Messbaren Menge, ist die Vereinigung von zwei Messbaren Mengen auch wieder messbar => [a,b] ist messbar. Dann ist die Aussage aber Äquivalent zu der Aussage [mm] integral_{I}^{}{f(x) dx}=0
[/mm]
c) L-integrabel heißt heißt [mm] \exists h_{n} \to [/mm] h dann gilt aber auch 0= [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{h_{n}(x) dx}
[/mm]
Nun kann ein Integral genau dann Null werden, wenn wie gefordert h konstant Null ist, die Grenze identisch sind, oder wenn die Beiträge auf Teilintervalle sich gegenseitig weg heben. Nun das zweite ist anscheinend nicht der Fall, und das dritte kann ich wie folgt ausschließen. Ich bilde wie im Teilpüunkt wieder das Integrall auf einzelnen völlig beliebigen Teilintervallen ab.
[mm] summe_{i=1}^{n} \integral_{a_{n}}^{a_{n+1}}{h(x) dx}
[/mm]
Das kann ich immer machen und die Summe ist immer noch Null. Da nun aber auch h(x) [mm] \ge [/mm] 0 ist, und das L-Integrall postiv ist, d.h. aus h(x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \integral_{a}^{b}{h(x) dx} \ge [/mm] 0 ist jeder einzelne Summand in der Summe positiv. Da zudem die Zerteilung absolut beliebig ist, kann dies also nur noch dann erfüllt sein, wenn h L-fast überall 0 ist.
d) nun ja hier bräuchte ich Hilfe XD
schon mal großen Dank im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
P.S ist mein erster Post hier, ich hoffe mal ich hab alles richtig gemacht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 13.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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