L. Abhängigkeit im Dualraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:11 Do 31.07.2014 | | Autor: | MeineKekse |
| Aufgabe | Es sein n [mm] \in \IR, [/mm] K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm] \alpha_{1}, ...,\alpha_{n} \in [/mm] V* Linearformen auf V.
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) [mm] \alpha_{1}, ...,\alpha_{n} [/mm] sind linear abhängig im Dualraum
(ii) Es gibt ein v [mm] \in [/mm] V \ {0} , so dass [mm] \alpha_{1}(v) [/mm] =... = [mm] \alpha_{n}(v) [/mm] = 0.
Hinweis: Betrachten Sie beim Beweis von i nach ii die folgende Abbildung
V -> [mm] K^{n}, [/mm] v [mm] =\vektor{\alpha_{1}(v) \\ . \\ .\\ .\\ \alpha_{n}(v)} [/mm] |
So hallo, leider komme ich bei der Aufgabe so gar nicht weiter. Sowohl die Hin als auch Rückrichtung ist mir unklar. Kann mir jemand weiterhelfen?
Grüße
MeineKekse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Do 31.07.2014 | | Autor: | hippias |
Hinrichtung: Wenn man zeigen, dass die vorgeschlagene Abbildung linear und einen Kern [mm] $\neq [/mm] 0$, dann waere [mm] $i)\Rightarrow [/mm] ii)$ gezeigt. Also gehe so vor: 1) Zeige, dass die Abbildung linear ist; 2) Ueberlege Dir, dass sie nicht surjektiv ist (dazu wirst Du die Voraussetzung anwenden muessen). Aus dem Dimensionssatz $n= dim Kern+ dim Bild$ folgt dann, dass der Kern nicht trivial ist.
Rueckrichtung: Hier wuesste ich gerne, welche Vorkenntnisse Du hast: Kennst Du die Dimension des Dualraumes?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:46 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hinrichtung: Wenn man zeigen, dass die vorgeschlagene
> Abbildung linear und einen Kern [mm]\neq 0[/mm], dann waere
> [mm]i)\Rightarrow ii)[/mm] gezeigt. Also gehe so vor: 1) Zeige, dass
> die Abbildung linear ist; 2) Ueberlege Dir, dass sie nicht
> surjektiv ist (dazu wirst Du die Voraussetzung anwenden
> muessen). Aus dem Dimensionssatz [mm]n= dim Kern+ dim Bild[/mm]
> folgt dann, dass der Kern nicht trivial ist.
Edit: hier stand Unsinn.
FRED
>
> Rueckrichtung: Hier wuesste ich gerne, welche Vorkenntnisse
> Du hast: Kennst Du die Dimension des Dualraumes?
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Okay die Linearität, folgt ja direkt aus der Definition der Funktion und der Linearität der [mm] \alpha_{k}.
[/mm]
Jetzt mal mein Ansatz:
Da die [mm] \alpha_{k} [/mm] linear abhängig exisitiert mindestens ein [mm] \alpha_{0}, [/mm] das als Linearkombination andere [mm] \alpha [/mm] s geschrieben werden kann.
Sei [mm] \alpha_{1} [/mm] dieses [mm] \alpha_{0} [/mm] und [mm] \alpha_{2}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{j} [/mm] die Linearkombination, sodass:
[mm] \alpha_{1} [/mm] = [mm] a_{2}*\alpha_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{j}*\alpha_{j}
[/mm]
daraus folgt
[mm] \alpha_{1}(v) [/mm] = [mm] a_{2}*\alpha_{2}(v) [/mm] + ... + [mm] a_{j}*\alpha_{j}(v) [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V.
Das wiederum heißt, dass es zu [mm] y_{1} \not= a_{2}*y_{2}+ [/mm] ... [mm] +a_{j}*y_{j} (\vektor{ \alpha_{1}(v) \\ . \\ . \\ \alpha_{n}(v)} [/mm] = [mm] \vektor{ y_{i} \\ . \\ . \\ y_{n}}) [/mm]
kein v existiert, sodass [mm] \alpha_{1}(v) [/mm] = [mm] y_{1}
[/mm]
Also ist f nicht surjektiv und hat nach dem Dimensionssatz auch keinen trivialen Kern.
Es existiert als ein v mit [mm] \alpha_{k}(v) [/mm] = 0 für 1<= k <= n.
Macht das ganze Sinn und ist richtig aufgeschrieben?
Zur anderen Richtung ich weiß, dass die Dimension von V* also die Dimension des Dualraums im endlichdimensionalen gleich der Dimension von V.
Danke schonmal
MeineKekse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay die Linearität, folgt ja direkt aus der Definition
> der Funktion und der Linearität der [mm]\alpha_{k}.[/mm]
>
> Jetzt mal mein Ansatz:
>
> Da die [mm]\alpha_{k}[/mm] linear abhängig exisitiert mindestens
> ein [mm]\alpha_{0},[/mm] das als Linearkombination andere [mm]\alpha[/mm] s
> geschrieben werden kann.
>
> Sei [mm]\alpha_{1}[/mm] dieses [mm]\alpha_{0}[/mm] und [mm]\alpha_{2},[/mm] ... ,
> [mm]\alpha_{j}[/mm] die Linearkombination, sodass:
>
> [mm]\alpha_{1}[/mm] = [mm]a_{2}*\alpha_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{j}*\alpha_{j}[/mm]
> daraus folgt
>
> [mm]\alpha_{1}(v)[/mm] = [mm]a_{2}*\alpha_{2}(v)[/mm] + ... +
> [mm]a_{j}*\alpha_{j}(v)[/mm] für alle v [mm]\in[/mm] V.
>
> Das wiederum heißt, dass es zu [mm]y_{1} \not= a_{2}*y_{2}+[/mm]
> ... [mm]+a_{j}*y_{j} (\vektor{ \alpha_{1}(v) \\ . \\ . \\ \alpha_{n}(v)}[/mm]
> = [mm]\vektor{ y_{a} \\ . \\ . \\ y_{n}})[/mm]
Da komme ich nicht mehr mit ! Was sind denn die [mm] y_i [/mm] ???
FRED
> kein v existiert, sodass [mm]\alpha_{1}(v)[/mm] = [mm]y_{1}[/mm]
>
> Also ist f nicht surjektiv und hat nach dem Dimensionssatz
> auch keinen trivialen Kern.
> Es existiert als ein v mit [mm]\alpha_{k}(v)[/mm] = 0 für 1<= k <=
> n.
>
> Macht das ganze Sinn und ist richtig aufgeschrieben?
>
> Zur anderen Richtung ich weiß, dass die Dimension von V*
> also die Dimension des Dualraums im endlichdimensionalen
> gleich der Dimension von V.
>
> Danke schonmal
> MeineKekse
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> > Okay die Linearität, folgt ja direkt aus der Definition
> > der Funktion und der Linearität der [mm]\alpha_{k}.[/mm]
> >
> > Jetzt mal mein Ansatz:
> >
> > Da die [mm]\alpha_{k}[/mm] linear abhängig exisitiert mindestens
> > ein [mm]\alpha_{0},[/mm] das als Linearkombination andere [mm]\alpha[/mm] s
> > geschrieben werden kann.
> >
> > Sei [mm]\alpha_{1}[/mm] dieses [mm]\alpha_{0}[/mm] und [mm]\alpha_{2},[/mm] ... ,
> > [mm]\alpha_{j}[/mm] die Linearkombination, sodass:
> >
> > [mm]\alpha_{1}[/mm] = [mm]a_{2}*\alpha_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{j}*\alpha_{j}[/mm]
> > daraus folgt
> >
> > [mm]\alpha_{1}(v)[/mm] = [mm]a_{2}*\alpha_{2}(v)[/mm] + ... +
> > [mm]a_{j}*\alpha_{j}(v)[/mm] für alle v [mm]\in[/mm] V.
> >
> > Das wiederum heißt, dass es zu [mm]y_{1} \not= a_{2}*y_{2}+[/mm]
> > ... [mm]+a_{j}*y_{j} (\vektor{ \alpha_{1}(v) \\ . \\ . \\ \alpha_{n}(v)}[/mm]
> > = [mm]\vektor{ y_{a} \\ . \\ . \\ y_{n}})[/mm]
>
>
> Da komme ich nicht mehr mit ! Was sind denn die [mm]y_i[/mm] ???
>
Hi, die [mm] y_{i} [/mm] sind das Ergebnis der Abbildung, die v auf [mm] \alpha_{i}(v) [/mm] abbildet. Das wollte ich mit dem Vektor andeuten
v -> [mm] \vektor{ \alpha_{1}(v) \\ . \\ . \\ \alpha_{n}(v)} [/mm] = [mm] \vektor{ y_{1} \\ . \\ . \\ y_{n}}.
[/mm]
Es gilt also [mm] \alpha_{i}(v) [/mm] = [mm] y_{i}
[/mm]
Ich hoffe das ganze macht es verständlicher.
Gruß MeineKekse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 02.08.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Zu (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i): nimm an $ [mm] \alpha_{1}, ...,\alpha_{n} [/mm] $ sind linear unabhängig .
Da dimV*=n ist, ist [mm] \{\alpha_{1}, ...,\alpha_{n}\} [/mm] eine Basis von V*.
Ist nun f [mm] \in [/mm] V*, so gibt es [mm] $k_1,...,k_n \in [/mm] K$ mit
[mm] $f=k_1* \alpha_1+...+k_n* \alpha_n$.
[/mm]
Sei nun $v$ wie in (ii). Dann folgt: $f(v)=0$.
Fazit: $f(v)=0$ für alle(!) f [mm] \in [/mm] V* !
Klingelt das was ?
FRED
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folgt da driekt die lineare abhängigkeit der [mm] \alpha [/mm] s draus?
Denn der Dualraum ist ja definiert als ALLE lineare Abbildungen von V nach K.
da aber für alle f(v) = 0 gilt mit v [mm] \not= [/mm] 0 fehlt zum Beispiel eine lineare Abbildung mit f(v) = 1 usw. Daraus folgt, dass die [mm] \alpha [/mm] s keine Basis von V bilden. Da es aber n = dim(V*) Stück sind müssen diese linear abhängig sein?
Gruß
MeineKekse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> folgt da driekt die lineare abhängigkeit der [mm]\alpha[/mm] s
> draus?
>
> Denn der Dualraum ist ja definiert als ALLE lineare
> Abbildungen von V nach K.
> da aber für alle f(v) = 0 gilt mit v [mm]\not=[/mm] 0
... aber nur für dieses eine $v$
> fehlt zum
> Beispiel eine lineare Abbildung mit f(v) = 1 usw.
Ja, zu v [mm] \ne [/mm] 0 ex. eine Linearform f mit f(v)=1.
> Daraus
> folgt, dass die [mm]\alpha[/mm] s keine Basis von V bilden. Da es
> aber n = dim(V*) Stück sind müssen diese linear abhängig
> sein?
Ja
FRED
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> Gruß
> MeineKekse
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