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Hier meine Bearbeitung:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Blatt1
Blatt2
Blatt3
Offene Fragen:
3A) Ich haben hier eine 2x2 Matrix, ist das jetzt so richtig das ich die einfach als Vektor in die Spalten der Matrix schreibe?
3D) Das Bild, gilt es hier das ich dann ainfach auf Zeilenstufenform transformiere und dann die entstehenden Vektoren wieder in eine 2x2 Matrix schreibe? Außerdem wenn ich die als Spalten eintrage muss ich dann eine Spaltentransformation anwenden oder eine Zeilentransformation?
4C) Hier hab ich leider nichts gefunden wie man das berrechnen kann :(, nur mit Stützvektor, darf ich dann den Stützvektor gleich 0 setzen?
5G) Nach dem Fundamentalsatz der linearen Algebra zerfällt doch alles im Complexen raum. Dann wäre doch jede Matrix diagonalisierbar oder nur triangulierbar?
Wär schön wenn sich jemand die Mühe machen würde das mal durchzugucken. Wär auf jeden Fall sehr Dankbar :) Außerdem kann das dann ja auch anderen helfen die nach sowas suchen^^
Liebe Grüße,
Michael
Dateianhänge:
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moin Michael2010,
> Die Aufgaben stehen auf diesem Blatt:
> ![[]](/images/popup.gif) Aufgabenstellung
>
> Hier meine Bearbeitung:
>
> Blatt1
> Blatt2
>
> Blatt3
>
> Offene Fragen:
> 3A) Ich haben hier eine 2x2 Matrix, ist das jetzt so
> richtig das ich die einfach als Vektor in die Spalten der
> Matrix schreibe?
Es ist der richtige Weg, ja, aber du solltest noch dazu sagen, dass du das so machst.
Also schreib noch irgendwo an den Anfang der Aufgabe etwas in der Form:
"Betrachte $M [mm] \in \IR^{2 \times 2}$ [/mm] als Vektor [mm] ($\in \IR^4$), [/mm] wobei $M = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d}$ [/mm] geschrieben wird als [mm] $\vektor{a \\ b \\ c \\ d}$."
[/mm]
Die genaue Formulierung ist natürlich dir selbst überlassen, aber etwas in der Art sollte da schon erwähnt werden.
> 3D) Das Bild, gilt es hier das ich dann ainfach auf
> Zeilenstufenform transformiere und dann die entstehenden
> Vektoren wieder in eine 2x2 Matrix schreibe? Außerdem wenn
> ich die als Spalten eintrage muss ich dann eine
> Spaltentransformation anwenden oder eine
> Zeilentransformation?
Zu aller erst mal ist dein Bild soweit richtig.^^
Du berechnest es wie ein ganz normales Bild (also mit Vektoren) und wandelst die dann wieder in $2 [mm] \times [/mm] 2$ Matrizen um, ja.
Ich persönlich sehe gerade nicht, was du wo transformieren möchtest, also erzähl mal was du da machen willst oder am besten auch noch auf welche Art genau du das Bild berechnest (da gibt es ja mehrere Wege für).
> 4C) Hier hab ich leider nichts gefunden wie man das
> berrechnen kann :(, nur mit Stützvektor, darf ich dann den
> Stützvektor gleich 0 setzen?
Also die Formel mit Stützvektor müsstest du mal verraten.^^
Normalerweise rechnet man sowas mit einem Normalenvektor, also einem Vektor der senkrecht auf die Ebene steht.
Dann kriegst du den Winkel zwischen Vektor und Ebene als 90°-Winkel zwischen Normalenvektor/Vektor. (die genaue Formel solltest du am besten in einer Formelsammlung, die du benutzen darfst, nachschlagen).
> 5G) Nach dem Fundamentalsatz der linearen Algebra
> zerfällt doch alles im Complexen raum. Dann wäre doch
> jede Matrix diagonalisierbar oder nur triangulierbar?
Ja, im komplexen zerfällt alles, aber nicht zwangsläufig in verschiedene Werte.
So hat zum Beispiel [mm] $x^3 [/mm] = 0$ auch im komplexen einzig die 0 als Lösung, diese nur mit dreifacher algebraische Vielfachheit (falls dir der Begriff nix sagt auch nicht so schlimm).
Also du kannst nicht direkt sagen "über [mm] $\IC$ [/mm] hat jede $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix genau n (verschiedene!) Eigenwerte."
Das wolltest du ja, wenn ich das richtig sehe, bei der g) sagen.
Also für die g) musst du dir die Eigenwerte bei e) nochmal angucken und gucken, ob du noch andere Lösungen rauskriegst, wenn du im komplexen Rechnen darfst (also ins besondere wenn du Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen darfst).
Mal als Beispiel:
$M = [mm] \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}$
[/mm]
Diese Matrix hat nur den Eigenwert 1, dieser hat den Eigenraum $< [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] >$, und daran ändert sich auch nichts wenn man das ganze in [mm] $\IC$ [/mm] berechnet.
Also kriegt man diese Matrix (zumindest mit Eigenvektoren) nicht diagonalisiert.
> Wär schön wenn sich jemand die Mühe machen würde das
> mal durchzugucken. Wär auf jeden Fall sehr Dankbar :)
> Außerdem kann das dann ja auch anderen helfen die nach
> sowas suchen^^
>
> Liebe Grüße,
> Michael
Ich hoffe ich konnte ein wenig helfen, wenn noch Fragen offen sind immer her damit.
MfG
Schadowmaster
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Hallo Shadowmaster,
> moin Michael2010,
>
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> > Die Aufgaben stehen auf diesem Blatt:
> > Aufgabenstellung
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> > Hier meine Bearbeitung:
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> > Blatt1
> > Blatt2
> >
> > Blatt3
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> > Offene Fragen:
> > 3A) Ich haben hier eine 2x2 Matrix, ist das jetzt so
> > richtig das ich die einfach als Vektor in die Spalten der
> > Matrix schreibe?
>
> Es ist der richtige Weg, ja, aber du solltest noch dazu
> sagen, dass du das so machst.
> Also schreib noch irgendwo an den Anfang der Aufgabe etwas
> in der Form:
> "Betrachte [mm]M \in \IR^{2 \times 2}[/mm] als Vektor ([mm]\in \IR^4[/mm]),
> wobei [mm]M = \pmat{ a & b \\ c & d}[/mm] geschrieben wird als
> [mm]\vektor{a \\ b \\ c \\ d}[/mm]."
>
> Die genaue Formulierung ist natürlich dir selbst
> überlassen, aber etwas in der Art sollte da schon erwähnt
> werden.
>
Leider wird nur die Lösung bewertet, der Lösungsweg ist dabei irrelevant.
> > 3D) Das Bild, gilt es hier das ich dann ainfach auf
> > Zeilenstufenform transformiere und dann die entstehenden
> > Vektoren wieder in eine 2x2 Matrix schreibe? Außerdem wenn
> > ich die als Spalten eintrage muss ich dann eine
> > Spaltentransformation anwenden oder eine
> > Zeilentransformation?
>
> Zu aller erst mal ist dein Bild soweit richtig.^^
> Du berechnest es wie ein ganz normales Bild (also mit
> Vektoren) und wandelst die dann wieder in [mm]2 \times 2[/mm]
> Matrizen um, ja.
> Ich persönlich sehe gerade nicht, was du wo
> transformieren möchtest, also erzähl mal was du da machen
> willst oder am besten auch noch auf welche Art genau du das
> Bild berechnest (da gibt es ja mehrere Wege für).
Ich berrechne das Bild indem ich zuerst die Matrix auf Zeilenstufenform bringe und dann die Vektoren ablese. Nur war ich mir heir nicht sicher da ich ja die Form [mm]\vektor{a \\ b \\ c \\ d}[/mm] benutze. Bei der Zeilenstufenform habe ich ja eigentlich die verschiedenen Werte als Spalten und nicht als Zeilen. Daher bin ich da etwas verwirrt.
> > 4C) Hier hab ich leider nichts gefunden wie man das
> > berrechnen kann :(, nur mit Stützvektor, darf ich dann den
> > Stützvektor gleich 0 setzen?
>
> Also die Formel mit Stützvektor müsstest du mal
> verraten.^^
> Normalerweise rechnet man sowas mit einem Normalenvektor,
> also einem Vektor der senkrecht auf die Ebene steht.
> Dann kriegst du den Winkel zwischen Vektor und Ebene als
> 90°-Winkel zwischen Normalenvektor/Vektor. (die genaue
> Formel solltest du am besten in einer Formelsammlung, die
> du benutzen darfst, nachschlagen).
Super damit konnte ich etwas anfagen auch wenn ich keine Formelsammlung habe :/. Ich dachte die Formel im Internet gelesen zu haben, aber jetzt finde ich sie leider nichtmehr :(
> > 5G) Nach dem Fundamentalsatz der linearen Algebra
> > zerfällt doch alles im Complexen raum. Dann wäre doch
> > jede Matrix diagonalisierbar oder nur triangulierbar?
>
> Ja, im komplexen zerfällt alles, aber nicht zwangsläufig
> in verschiedene Werte.
> So hat zum Beispiel [mm]x^3 = 0[/mm] auch im komplexen einzig die 0
> als Lösung, diese nur mit dreifacher algebraische
> Vielfachheit (falls dir der Begriff nix sagt auch nicht so
> schlimm).
> Also du kannst nicht direkt sagen "über [mm]\IC[/mm] hat jede [mm]n \times n[/mm]-Matrix
> genau n (verschiedene!) Eigenwerte."
> Das wolltest du ja, wenn ich das richtig sehe, bei der g)
> sagen.
> Also für die g) musst du dir die Eigenwerte bei e)
> nochmal angucken und gucken, ob du noch andere Lösungen
> rauskriegst, wenn du im komplexen Rechnen darfst (also ins
> besondere wenn du Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen
> darfst).
>
> Mal als Beispiel:
> [mm]M = \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}[/mm]
> Diese Matrix hat nur den
> Eigenwert 1, dieser hat den Eigenraum [mm]< \vektor{1 \\ 0} >[/mm],
> und daran ändert sich auch nichts wenn man das ganze in
> [mm]\IC[/mm] berechnet.
> Also kriegt man diese Matrix (zumindest mit Eigenvektoren)
> nicht diagonalisiert.
>
Dann würde ich hier auf meine berrechnetes charakteristische Polynom zurück greifen. Bei den reelen Zahlen habe ich ja 1 und alles drüber ausgeschlossen da die geometrische Vielfachheit von von 1 = 1 ist. und alles über 1 eine negative Zahl unter der Wurzel liefert. Bei den komplexen Zahlen kann ich das ja also würde ich nur 1 aus der Menge der komplexen Zahlen schmeissen?
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> > Wär schön wenn sich jemand die Mühe machen würde das
> > mal durchzugucken. Wär auf jeden Fall sehr Dankbar :)
> > Außerdem kann das dann ja auch anderen helfen die nach
> > sowas suchen^^
> >
> > Liebe Grüße,
> > Michael
>
> Ich hoffe ich konnte ein wenig helfen, wenn noch Fragen
> offen sind immer her damit.
>
>
> MfG
>
> Schadowmaster
>
Ich danke dir für deine Mühe und ja hat mir sehr gut weitergeholfen.
Liebe Grüße,
Michael
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Blatt3
