LDL^{T} Zerlegung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mo 21.09.2009 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die Matrix
A= [mm] \pmat{ 4 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 10}
[/mm]
auf Definitheit und berechnen Sie die [mm] LDL^{T}-Zerlegung [/mm] mit Hilfe der LR-Zerlegung. |
Also die Matrix ist positiv semidefinit, oder?
Ich weiß wie die LR-Zerlegung geht. Allerdings weiß ich nicht wie ich das D bestimmen kann.
Danke für eure Hilfe,
LG elba
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Der Algorithmus für die Bestimmung von D lautet:
[Externes Bild https://matheraum.de/file/uploads/forum/00591857/forum-i00591857-n001.jpg]
ps: wie das hier mit dem bilder uploaden und verlinken funktioniert hab ich anscheinend nicht durchschaut...hoffe du kannst es abrufen wenn du unten auf Anhänge klickst oderso.........^^
mit d sind die Diagnoaleinträge bezeichnet (die du suchst), mit a die Einträge der Ausgansmatrix und mit l die Einträge der L-Matrix aus LR...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 22.09.2009 | | Autor: | elba |
Ok, danke.
und was ist mit den diagonaleinträgen von L?
Bestimme ich die wie bei der Cholesky Zerlegung oder sind die 1??
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Jo sind 1
Und wegen deiner Formulierung "wie bei der Cholesky-Zerlegung" nochmal by the way: Cholesky-Zerlegung ist ein anderer Name für die LDL-Zerlegung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Di 22.09.2009 | | Autor: | elba |
hm, ok. Aber bestimmt man bei der Cholesky-Zerlegung die Diagonaleinträge von L nicht wie folg:
[mm] l_{k,k}= a_{1,1} [/mm] für k=1
und [mm] \wurzel{a_{k,k}-\summe_{\mu=1}^{k-1} l^{2}_{k,\mu}}
[/mm]
und dann wäre doch [mm] l_{1,1}= [/mm] 2 oder nicht?
Ich dachte, dass es sowas ähnliches ist wie die Cholesky Zerlegung aber nicht genau dasselbe.
Wäre nett, wenn du mir das nochmal erläuterst. Ich blicke nämlich nicht mehr so ganz durch.
Und dann noch was zu den Diagonaleinträgen von D.
Wenn ich die so berechne wie in deinem Anhang, erhalte ich für
[mm] d_{2,2}=0 [/mm] spät. bei dem Eintrag [mm] l_{3,2} [/mm] muss ich ja durch [mm] d_{2,2} [/mm] teilen. Was dann folglich ja nicht geht. Oder habe ich da auch was falsch gemacht?
Danke!!!!!
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Hallo, sorry ich hatte nicht genau hingeguckt!
Meine Antwort war für dich unbrauchbar!
An einer Stelle sogar falsch: Die LDL Zerlegung ist dasselbe wie die Cholesky-Zerlegung, nur wenn es sich um symmetrisch positiv definite Matrizen handelt!!
Nur dann kann der Algorithmus zum Cholesky-Verfahren durchgezogen werden.
Ist die Matrix nicht positiv definit, kommt es zu Problemen, wie du scon festgestellt hast.
Somit dient das Cholesky-Verfahren auch zum Test auf s.p.definitheit.
(Trotzdem nochmal zu den l-Einträgen: im Algorithmus steht die l-Einträge lassen sich für [mm] l_{i,k} [/mm] und i<k berechnen - die Diagonaleinträge werden also nicht nach der Formel berechnet, dafür ist keine nötig, die sind ja einfach 1)
Deine Matrix hier ist nicht ganz s.p.d., sie ist s.p.indefinit -> ein Diagnoaleintrag wäre 0 -> Cholesky-Verfahren lässt sich nicht durchziehen.
Trotzdem ist eine LDL-Zerlegung möglich, nur nicht mit dem Cholesky-Verfahren.
Sorry nochmal für die Fehlinformation.
Allerdings ist es eher ungebräuchlich eine nicht s.p.d. Matrix in LDL zu Zerlegen, weshalb mir die genaue Vorgehensweise gerade leider nicht so sattelfest ist dass ich eine verlässliche Antwort abgeben könnte.
Ich versuche mein Wissen diesbezüglich etwas aufzufrischen, wenn mir das gelunge sein sollte poste ich nochmal - solange lasse ich die Frage auf unbeantwortet...
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Das hier hab ich meinen Unterlagen gefunden.
Was also mit dieser Matrix zu tun ist müsste folgendes sein:
Erst die LR Zerlegung durchführen -> A=L*R
Nun kannst du das R nochmals "zerlegen" in R=D*R', wobei du schon weisst, das [mm] R'=L^{T} [/mm] ist.
Du hast also R, R' [mm] (=L^{T}) [/mm] und kannst die Gleichung R=D*R' nach D umstellen um D zu ermitteln.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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