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Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei ein paar alte Aufgaben durchzugehen und bin schon wieder an einer hängen geblieben.
Sei p eine Primzahl und seien [mm] \overline{0},\overline{1},...,\overline{p-1} [/mm] die Elemente des Körpers [mm] \IZ_{p}=\IZ/p\IZ.
[/mm]
Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem
A*x = b,
wobei
A = [mm] \pmat{\overline{5} & \overline{10} & \overline{15} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{3} & \overline{9} & \overline{21}} \in \IM(3 [/mm] x 3, [mm] \IZ_{p})
[/mm]
und
b = [mm] \vektor{\overline{5} \\ \overline{0} \\ \overline{7}} \in \IZ^{3}_{p}.
[/mm]
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von p ob das Gleichungssystem über [mm] \IZ_{p} [/mm] lösbar ist und wenn ja, ob es eindeutig lösbar ist.
Folgende Probleme stellen sich mir :
Wie soll ich hier vorgehen ? Normalerweise doch Gauss und dann "einfach" ausrechnen.
Ich komme hier mit dieser Modulo-Schreibweise total durcheinander. Und was heißt hier, in Abhängigkeit von p ?? Das kommt in der LGS explizit doch gar nicht vor.
Würde mich über Tipps und Anregungen freuen !!
Gruß Chiro
P.S : Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mi 21.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wie soll ich hier vorgehen ? Normalerweise doch Gauss und
> dann "einfach" ausrechnen.
Ja, das ist auch hier im Wesentlichen angebracht. Aufpassen musst du, ob ein Element denn invertierbar ist oder nicht, gibt es kein [m]\bruch{1}{3}[/m] in [m]\IZ_3[/m]
> Ich komme hier mit dieser Modulo-Schreibweise total
> durcheinander.
du kannst ja immer mit "rationalen" Brüchen rechnen, und erstmal das Modulo unterdrücken. aber siehe oben. Dann ergeben sich also, wenn du Teilen musst,dann immer Spezialfälle, dieman gesondert betrachten muss.
> Und was heißt hier, in Abhängigkeit von p ??
Die Antwort fällt unterschieldich aus, für welche Primzahl p ist - es ist für welche nicht lösbar, für welche gibt es eine mehrdeutige Lösung, für manche genau eine.
> Das kommt in der LGS explizit doch gar nicht vor.
Doch - dadurch das rechts steht, in welchem Körper du dich befindest, hängt die Lösung davon ab. Am besten du machst Gauß hier imForum vor und findest so auch die Sonderfälle, und behandelst die auch (so weit du es kannst/schaffst). Dann sehen wir ja,wo's hapert.
SEcki
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Hallo SEcki,
mir ist aufgefallen, dass ich irgendwie ein allgemeines Verständnisprobelm habe.
> Doch - dadurch das rechts steht, in welchem Körper du dich
> befindest, hängt die Lösung davon ab.
Hmm... versteh ich irgendwie nicht.
Also, am Anfang habe ich ja
I : [mm] \overline{5} [/mm] + [mm] \overline{10} [/mm] + [mm] \overline{25} [/mm] = [mm] \overline{5}
[/mm]
II : [mm] \overline{1} [/mm] + [mm] \overline{1} [/mm] + [mm] \overline{1} [/mm] = [mm] \overline{0}
[/mm]
III : [mm] \overline{3} [/mm] + [mm] \overline{9} [/mm] + [mm] \overline{21} [/mm] = [mm] \overline{7}
[/mm]
Meinst du jetzt, dass ich mich in Zeile I in [mm] \IZ_{5}, [/mm] in Zeile II in [mm] \IZ_{0} [/mm] und in Zeile III in [mm] \IZ_{7} [/mm] bewege, oder wie hab ich das zu verstehen ?
Naja, ich mach einfach mal weiter :
III - 3*II :
I : [mm] \overline{5} [/mm] + [mm] \overline{10} [/mm] + [mm] \overline{25} [/mm] = [mm] \overline{5}
[/mm]
II : [mm] \overline{1} [/mm] + [mm] \overline{1} [/mm] + [mm] \overline{1} [/mm] = [mm] \overline{0}
[/mm]
III : [mm] \overline{0} [/mm] + [mm] \overline{6} [/mm] + [mm] \overline{18} [/mm] = [mm] \overline{7}
[/mm]
5*II - I :
I : [mm] \overline{5} [/mm] + [mm] \overline{10} [/mm] + [mm] \overline{25} [/mm] = [mm] \overline{5}
[/mm]
II : [mm] \overline{0} [/mm] + [mm] \overline{-5} [/mm] + [mm] \overline{-20} [/mm] = [mm] \overline{-5}
[/mm]
III : [mm] \overline{0} [/mm] + [mm] \overline{6} [/mm] + [mm] \overline{18} [/mm] = [mm] \overline{7}
[/mm]
Das jetzt noch negative Zahlen ins Spiel kommen, macht die Sache für mich noch undurchsichtiger :-(
Weiter mit Gauss....
5*III + 6*II :
I : [mm] \overline{5} [/mm] + [mm] \overline{10} [/mm] + [mm] \overline{25} [/mm] = [mm] \overline{5}
[/mm]
II : [mm] \overline{0} [/mm] + [mm] \overline{-5} [/mm] + [mm] \overline{-20} [/mm] = [mm] \overline{-5}
[/mm]
III : [mm] \overline{0} [/mm] + [mm] \overline{0} [/mm] + [mm] \overline{30} [/mm] = [mm] \overline{5}
[/mm]
Stimmt bis dahin eigentlich überhaupt irgendwas ???
Gruß Chiro
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Hallo!
Also, lösen kann ich deine Aufgabe wohl nicht, aber vielleicht kann ich dir doch ein bisschen helfen.
> mir ist aufgefallen, dass ich irgendwie ein allgemeines
> Verständnisprobelm habe.
>
> > Doch - dadurch das rechts steht, in welchem Körper du dich
> > befindest, hängt die Lösung davon ab.
>
> Hmm... versteh ich irgendwie nicht.
>
> Also, am Anfang habe ich ja
>
> I : [mm]\overline{5}[/mm] + [mm]\overline{10}[/mm] + [mm]\overline{25}[/mm] =
> [mm]\overline{5}[/mm]
> II : [mm]\overline{1}[/mm] + [mm]\overline{1}[/mm] + [mm]\overline{1}[/mm] =
> [mm]\overline{0}[/mm]
> III : [mm]\overline{3}[/mm] + [mm]\overline{9}[/mm] + [mm]\overline{21}[/mm] =
> [mm]\overline{7}[/mm]
>
> Meinst du jetzt, dass ich mich in Zeile I in [mm]\IZ_{5},[/mm] in
> Zeile II in [mm]\IZ_{0}[/mm] und in Zeile III in [mm]\IZ_{7}[/mm] bewege,
> oder wie hab ich das zu verstehen ?
Nein, ich glaube, du befindest dich überall in [mm] \IZ_{p}. [/mm] Wenn jetzt p z. B. 3 ist, dann wäre [mm] \overline{5}=\overline{2}. [/mm] Wenn jetzt aber p=5 wäre, dann wäre [mm] \overline{5}=\overline{0} [/mm] usw. Verstehst du, was ich meine? Und je nachdem, was p ist, stehen da quasi ganz andere "Zahlen" (ich glaube, das nennt sich hier Restklassen?) und je nachdem ist dann eben das LGS lösbar oder auch nicht lösbar.
> Naja, ich mach einfach mal weiter :
>
> III - 3*II :
>
> I : [mm]\overline{5}[/mm] + [mm]\overline{10}[/mm] + [mm]\overline{25}[/mm] =
> [mm]\overline{5}[/mm]
> II : [mm]\overline{1}[/mm] + [mm]\overline{1}[/mm] + [mm]\overline{1}[/mm] =
> [mm]\overline{0}[/mm]
> III : [mm]\overline{0}[/mm] + [mm]\overline{6}[/mm] + [mm]\overline{18}[/mm] =
> [mm]\overline{7}[/mm]
In deiner Matrix im ersten Post hattest du in der ersten Zeile statt der 25 eine 15 stehen. Welche Zahl soll da denn jetzt stehen?
> 5*II - I :
>
> I : [mm]\overline{5}[/mm] + [mm]\overline{10}[/mm] + [mm]\overline{25}[/mm] =
> [mm]\overline{5}[/mm]
> II : [mm]\overline{0}[/mm] + [mm]\overline{-5}[/mm] + [mm]\overline{-20}[/mm] =
> [mm]\overline{-5}[/mm]
> III : [mm]\overline{0}[/mm] + [mm]\overline{6}[/mm] + [mm]\overline{18}[/mm] =
> [mm]\overline{7}[/mm]
>
>
> Das jetzt noch negative Zahlen ins Spiel kommen, macht die
> Sache für mich noch undurchsichtiger :-(
Negative Zahlen sind aber noch recht einfach. Wenn du z. B. modulo 3 rechnest, dann hast du ja [mm] \overline{1}=\overline{4}=\overline{7} [/mm] usw. Also quasi immer drei dazu, und es bleibt noch dieselbe Restklasse. Und wenn du jetzt einfach in die andere Richtung gehst, also immer 3 abziehst, dann hast du halt die negativen Zahlen: [mm] \overline{1}=\overline{-2}=\overline{-5}.
[/mm]
Wenn du jetzt also ein spezielles p gegeben hast, dann könntest du die negativen durch positive "Zahlen" ersetzen. So musst du aber wohl leider erstmal noch die negativen stehen lassen.
> Weiter mit Gauss....
>
> 5*III + 6*II :
>
> I : [mm]\overline{5}[/mm] + [mm]\overline{10}[/mm] + [mm]\overline{25}[/mm] =
> [mm]\overline{5}[/mm]
> II : [mm]\overline{0}[/mm] + [mm]\overline{-5}[/mm] + [mm]\overline{-20}[/mm] =
> [mm]\overline{-5}[/mm]
> III : [mm]\overline{0}[/mm] + [mm]\overline{0}[/mm] + [mm]\overline{30}[/mm] =
> [mm]\overline{5}[/mm]
Muss hier nicht statt [mm] \overline{30} [/mm] eine [mm] \overline{-30} [/mm] stehen?
> Stimmt bis dahin eigentlich überhaupt irgendwas ???
Ja, warum denn nicht? Bis auf die Sache, ob da jetzt eine 25 oder eine 15 steht und den Rechenfehler hier am Ende, würde ich sagen, dass das soweit richtig ist.
Na, und vielleicht kriegen wir das jetzt sogar noch gelöst. In der letzten Zeile steht ja jetzt [mm] \overline{30}=\overline{5}. [/mm] Wenn nun z. B. p=5 ist, dann stände da ja [mm] \overline{0}=\overline{0} [/mm] und das wäre offensichtlich erfüllt. Wenn p aber 3 wäre, dann steht da [mm] \overline{0}=\overline{2}. [/mm] Verstehst du jetzt, was damit gemeint ist, dass du das LGS in Abhängigkeit von p lösen sollst?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo,
hey, vielen Dank. Ich glaube, so langsam wird das was bei mir 
Zunächst :
Die [mm] \overline{25} [/mm] aus dem zweiten Post stimmt.
Meine ganze Konzentration liegt darin, die Formel einigermaßen lesbar darzustellen und da passiert es halt mal, das die eigentlichen Zahlen leiden müssen.
Und natürlich hast du Recht, steht in der letzten Zeile eine [mm] \overline{-30}.
[/mm]
> In der letzten Zeile steht ja jetzt
> [mm]\overline{30}=\overline{5}.[/mm]
Also [mm]\overline{-30}=\overline{5}.[/mm]
Was aber an deinen zwei darauf folgenden Beispielen nix ändern sollte.
Die Aufgabenstellung lautet ja genau :
" Bestimmen sie in Abhängigkeit von p, ob das Gleichungssytem über [mm] \IZ_{p} [/mm] lösbar ist und wenn ja, ob das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist "
Zielt diese Frage eigentlich auf eine Antwort mit bestimmten Werten hin ? Was ja eigentlich nicht sein kann, da ich ja beliebig viele p's einsetzen kann.
Somit wäre das GLS auch nicht eindeutig lösbar !?
Was wäre eine kompetente Antwort auf diese Frage ?
Gruß Chiro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Do 22.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich würde hier ganz anders vorgehen:
Es gilt: [mm] $\det(A)=\overline{-30}$.
[/mm]
Wegen $30 = 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 5$ ist also:
[mm] $\det(A) \ne [/mm] 0$ in [mm] $\IZ_p$ [/mm] mit $p [mm] \notin\{2,3,5\}$.
[/mm]
In diesen Fällen existiert also eine eindeutige Lösung.
Du brauchst jetzt nur noch die Fälle [mm] $\IZ_2$, $\IZ_3$ [/mm] und [mm] $\IZ_5$ [/mm] einzelen zu untersuchen, und das ist Routine.
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Do 22.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Es gilt: [mm]\det(A)=\overline{-30}[/mm].
Stimmt, das hatte ich zwar irgendwie auch kurz angedacht, aber bin dann davon abgekommen (ka warum).
> Du brauchst jetzt nur noch die Fälle [mm]\IZ_2[/mm], [mm]\IZ_3[/mm] und [mm]\IZ_5[/mm]
> einzelen zu untersuchen, und das ist Routine.
wobei ich hier nur noch explizit dzu sagen möchte: da der Kern nichttrivial ist, gibt es also entweder keine Lösung oder mehr als eine - eindeutig wird das in den drei Fällen sicher nicht gehen.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Do 22.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
auch um deine letzte frage zu beantworten, wie man hier vorgehen muss fuer komplette Loesungen :
> Meinst du jetzt, dass ich mich in Zeile I in [mm]\IZ_{5},[/mm] in
> Zeile II in [mm]\IZ_{0}[/mm] und in Zeile III in [mm]\IZ_{7}[/mm] bewege,
> oder wie hab ich das zu verstehen ?
nein, du bist immer in Zp
>
> Naja, ich mach einfach mal weiter :
>
> III - 3*II :
so, hier musst du schon aufpassen : dies kannst du NICHT machen, wenn du in Z3 bist, denn dort ist ja 3=0 und man darf nicht eine Gleichung mit 0 multiplizieren...
Also musst du diesen Fall besonders betrachten : was passiert aber mit der dritten Gleichung, wenn du annimmst, dass du in Z3 bist ?
denn Rest dann zu loesen ist nicht mehr soooo schwer..
(denn nun bist du ja im Z3)
gut, das muss man also durchrechnen fuer Z3.
Wenn wir aber nicht im Z3 sind, dann darf man den Schritt oben so machen und wir kommen mal gleich zum naechsten:
> 5*II - I :
dies duerfte man nicht im Z5 (selber Grund wie eben),
aber (angenommen wir waeren im Z5) die Umformung der dritten Zeile bleibt bestehen, wie bisher und die erste Zeile vereinfacht sich wieder stark
also auch mal schnell fuer diesen Fall loesen...
(hinweis: man ist nie gleichzeitig im Z5 und Z3 oder Z2 oder so..)
aber angenommen wir sind nicht im Z5 und Z3 (dafuer musst du inzwischen die Loesungen seperat berechnet haben) , dann :
> Weiter mit Gauss....
>
> 5*III + 6*II :
das mit der 5 kannst du machen, aber 6=2*3
die 3 stoert nicht, den wir sind laut annahme nicht im Z3, aber die 2 wuerde Probleme im Z2 machen, also auch hierfuer wieder alles vereinfachen und eine Loesung berechnen.
Wenn wir aber nicht im Z2 , Z3 oder Z5 sind (deren Loesung du ja schon angegeben hast), dann darf man den Schritt 5*III + 6*II : machen und du fuer allgemeines p (ausser 2,3,5) eine Loesung bekommen...
nun klarer ?
viele Gruesse
DaMenge
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Hallo,
dank eurer netten Hilfe, werde ich jetzt mal einen Lösungsversuch starten.
Mal schauen, ob ich das dann ein wenig verstanden habe.
Die Determinante ist aber doch [mm] \overline{30} [/mm] ?
Ich fange jetzt mal mit [mm] \IZ_{3} [/mm] an :
Man erhält dann:
[mm] \pmat{\overline{2} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{0} & \overline{0}}= \vektor{\overline{2} \\ \overline{0} \\ \overline{1}}
[/mm]
Aus der letzten Zeile folgt dann, dass das System keine Lösung hat.
Nun [mm] \IZ_{2} [/mm] :
[mm] \pmat{\overline{1} & \overline{0} & \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1}}= \vektor{\overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{1}}
[/mm]
Einmal umgeformt :
[mm] \pmat{\overline{1} & \overline{0} & \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{0} & \overline{0}}= \vektor{\overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{1}}
[/mm]
Auch hier keine Lösung, wegen letzter Zeile.
[mm] \IZ_{5} [/mm] und nach einer Umformung:
[mm] \pmat{\overline{0} & \overline{0} & \overline{0} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{1} & \overline{3}}= \vektor{\overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{2}}
[/mm]
Ich setzte [mm] x_{3}=r [/mm] und erhalte aus Zeile III [mm] x_{2}=\overline{2}-\overline{3}r.
[/mm]
Eingesetzt in II : [mm] x_{1}=\overline{-2}+\overline{2}r
[/mm]
also
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}= \vektor{\overline{-2} \\ \overline{2} \\ \overline{0}} [/mm] + r * [mm] \vektor{\overline{2} \\ \overline{-3} \\ \overline{1}}
[/mm]
Nun für p [mm] \not= [/mm] 2,3,5 :
[mm] \pmat{\overline{5} & \overline{10} & \overline{25} \\ \overline{0} & \overline{-5} & \overline{-20} \\ \overline{0} & \overline{0} & \overline{-30}} [/mm] = [mm] \vektor{\overline{5} \\ \overline{-5} \\ \overline{5}}
[/mm]
So erhalte ich dann :
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{\overline{-\bruch{1}{6}} \\ \overline{\bruch{5}{3}} \\ \overline{-\bruch{1}{6}}}
[/mm]
Kann das hinkommen ?
Gruß Chiro
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:33 Do 22.09.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hi,
beim Stöbern ist mir aufgefallen, dass mir die Aufgabe ziemlich bekannt vorkommt. Bin auch Studentlin in Saarbrücken und habe mich die ganze Zeit auf mein Vordiplom vorbereitet. Bei den vergangenen VD-Aufgaben kam diese hier auch vor....
> Die Determinante ist aber doch [mm]\overline{30}[/mm] ?
Würde ich auch sagen.
> Ich fange jetzt mal mit [mm]\IZ_{3}[/mm] an :
>
> Man erhält dann:
>
> [mm]\pmat{\overline{2} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{0} & \overline{0}}= \vektor{\overline{2} \\ \overline{0} \\ \overline{1}}[/mm]
>
> Aus der letzten Zeile folgt dann, dass das System keine
> Lösung hat.
>
> Nun [mm]\IZ_{2}[/mm] :
>
> [mm]\pmat{\overline{1} & \overline{0} & \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1}}= \vektor{\overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{1}}[/mm]
>
> Einmal umgeformt :
>
> [mm]\pmat{\overline{1} & \overline{0} & \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{0} & \overline{0}}= \vektor{\overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{1}}[/mm]
>
> Auch hier keine Lösung, wegen letzter Zeile.
Bis dahin bin ich vollkommen einverstanden.
> [mm]\IZ_{5}[/mm] und nach einer Umformung:
>
> [mm]\pmat{\overline{0} & \overline{0} & \overline{0} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{1} & \overline{3}}= \vektor{\overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{2}}[/mm]
Woher hast du die overline{1} auf der rechten Seite der Gleichung? Wenn ich mich nicht täusche, dann sieht das System in [mm] \IZ_{5} [/mm] folgender´maßen aus:
[mm]\pmat{\overline{0} & \overline{0} & \overline{0} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{3} & \overline{4} & \overline{1}}= \vektor{\overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{2}}[/mm]
Wenn ich dann einmal umforme, erhalte ich
[mm]\pmat{\overline{0} & \overline{0} & \overline{0} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{1} & \overline{3}}= \vektor{\overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{2}}[/mm]
So wie du die Matrix da stehen hast, gäbe es wieder keine Lösung.
> Ich setzte [mm]x_{3}=r[/mm] und erhalte aus Zeile III
> [mm]x_{2}=\overline{2}-\overline{3}r.[/mm]
> Eingesetzt in II : [mm]x_{1}=\overline{-2}+\overline{2}r[/mm]
>
> also
>
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}= \vektor{\overline{-2} \\ \overline{2} \\ \overline{0}}[/mm]
> + r * [mm]\vektor{\overline{2} \\ \overline{-3} \\ \overline{1}}[/mm]
Jepp, daran hat sich nichts geändert.
> Nun für p [mm]\not=[/mm] 2,3,5 :
>
> [mm]\pmat{\overline{5} & \overline{10} & \overline{25} \\ \overline{0} & \overline{-5} & \overline{-20} \\ \overline{0} & \overline{0} & \overline{-30}}[/mm]
> = [mm]\vektor{\overline{5} \\ \overline{-5} \\ \overline{5}}[/mm]
>
> So erhalte ich dann :
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm] =
> [mm]\vektor{\overline{-\bruch{1}{6}} \\ \overline{\bruch{5}{3}} \\ \overline{-\bruch{1}{6}}}[/mm]
>
> Kann das hinkommen ?
Ja, ich denke, jetzt bist du fertig.
Glückwunsch!
Gruß
Jasmin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Haeslein!
> > Die Determinante ist aber doch [mm]\overline{30}[/mm] ?
>
> Würde ich auch sagen.
Ist aber falsch, sie ist [mm] $\overline{-30}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Do 22.09.2005 | | Autor: | Chironimus |
Hallo,
hatte mich mal wieder vertippt.
Natürlich sollte da [mm] \overline{0} [/mm] stehen.
Ansonsten, vielen Dank für eure Hilfe !!!
Gruß Chiro
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