LGS - 4 Zeilen, 6 Parameter < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 21.01.2014 | | Autor: | Eskrima |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden LGS (über R)
i) 2 5 -2 9 -1 5 0
ii) 0 -2 3 14 0 1 0
iii) 5 0 -1 9 -2 -8 0
iv) -3 7 -4 -14 1 12 0 |
Hallo Freunde der Mathematik!
Für die Hobby- (oder natürlich auch Berufs) Mathematiker unter euch habe ich mal folgendes Problem.
Ich soll die oben genannten Lösungen des LGS bestimmten.
Als erstes irritiert mich, dass mehr Parameter als Zeilen vorhanden sind.
Muss ich dementsprechend vorher in irgendeiner Weise vereinfachen? Wenn ja, wie denn?
Ich komme einfach nicht weiter. seit Tagen hab ich sicherlich zwanzig Zettel mit diversen Lösungsansetzen Beschrieben.
Mein Ziel ist es doch eine Diagonale aus einsen zu erzeugen und nahc und nach die Werte drumherum zu eliminieren bzw auf Null zu bringen oder lieg ich falsch?
Würde ich eine Diagonale erzeugen, dann sind doch nicht alle Parameter besetzt oder?Hier sind es ja nun ziemlich viele.
Vielleicht ist ja jemand so lieb und mag mir gerad mal vorschlagen, wie er die ersten drei oder vier Schritte angehen würde um dieses Problem zu lösen.
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Eskrima
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Hallo,
> Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden LGS (über R)
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> i) 2 5 -2 9 -1 5 0
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> ii) 0 -2 3 14 0 1 0
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> iii) 5 0 -1 9 -2 -8 0
>
> iv) -3 7 -4 -14 1 12 0
> Hallo Freunde der Mathematik!
> Für die Hobby- (oder natürlich auch Berufs) Mathematiker
> unter euch habe ich mal folgendes Problem.
> Ich soll die oben genannten Lösungen des LGS bestimmten.
> Als erstes irritiert mich, dass mehr Parameter als Zeilen
> vorhanden sind.
> Muss ich dementsprechend vorher in irgendeiner Weise
> vereinfachen? Wenn ja, wie denn?
Nein. Du sollst die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems bestimmen.
> Ich komme einfach nicht weiter. seit Tagen hab ich
> sicherlich zwanzig Zettel mit diversen Lösungsansetzen
> Beschrieben.
Und weshalb steht dann hier in deinem Posting nichts, aber auch gar niochts von diesen Versuchen?
> Mein Ziel ist es doch eine Diagonale aus einsen zu erzeugen
> und nahc und nach die Werte drumherum zu eliminieren bzw
> auf Null zu bringen oder lieg ich falsch?
Das geht in die richtige Richtung.
> Würde ich eine Diagonale erzeugen, dann sind doch nicht
> alle Parameter besetzt oder?
Tut mir Leid, diesen Satz verstehe ich nicht, also was meinst du damit?
> Hier sind es ja nun ziemlich
> viele.
> Vielleicht ist ja jemand so lieb und mag mir gerad mal
> vorschlagen, wie er die ersten drei oder vier Schritte
> angehen würde um dieses Problem zu lösen.
Ich würde - und bitte nimm das mal nicht als dummen Spruch auf sondern nimm es ernst (so ist es nämlich gemeint) - als erstes ein Lehrbuch der Linearen Algabra zur Hand nehmen und die grundlegenden Dinge zu linearen Gleichungssystemen durcharbeiten. Das ist eine Sache von ein, zwei Stunden und keinesfalls Tagen. Auch im Internet gibt es da wahrlich genug Material für jeden Geschmack und jedes Niveau!
Dieses LGS wird entweder unendlich viele Lösungen besitzen, oder u.U. keine. Eine eindeutige Lösung jedoch ist nicht möglich. Durchgerechnet habe ich das jetzt nicht, das tue ich ggf. gerne noch, wenn du eine entsprechende eigene Bemühung vorgestellt hast. Daher kann ich jetzt nur so viel sagen: die Lösungsmenge muss man in Abhängigkeit von mindestens zwei Parametern angeben sofern sie nicht leer ist. Versuche also, die Matrix auf die folgende Gestalt zu bringen:
[mm] \left( \begin{array}{cccccc|c} 1&0&0&0&a_{15}&a_{16}&b_1 \\ 0&1&0&0&a_{25}&a_{26}&b_2 \\ 0&0&1&0&a_{35}&a_{36}&b_3 \\ 0&0&0&1&a_{45}&a_{46}&b_4 \end{array} \right)
[/mm]
Und dann versuche, den Sinn dieser Umformung mit Hilfe des bisher gesagten zu verstehen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Di 21.01.2014 | | Autor: | Eskrima |
Danke für deine schnelle Antwort.
Die Zieldarstellung hilft mir auf jedenfall schonmal.
Ein sehr guter Tipp, sich die Lektüre durchzulesen, allerdings dachte ich mit meinen jetzigen Kenntnissen lässt sich dieses System einfach durch die Anwendung der erlaubten Äquivalenzumformungen lösen.
Morgen ist die wöchentliche Abgabe und ich krebse schon seit Tagen an dieser Aufgabe.
Mein erster Schritt wäre in jedem Fall die erste Zeile durch zwei zu rechnen, damit dort eine 1 steht.
Dann muss doch die 5 eliminiert werden, dann die -3, die 7 usw.
Was mir fehlt ist lediglich die sinnvollste und schlüssigste Äquivalenzumformung, die mich dazu bringt, die Nullen zu erzeugen.
Ich habe meine genauen Aufzeichnungen schon bewusst nicht angegeben, da ich mir sicher bin, dass meine bisherigen Schritte auf gut Deutsch allesamt Mist sind.
Ich bin gerade schon emsig das Internet am durchforsten. 
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Hallo,
> Danke für deine schnelle Antwort.
> Die Zieldarstellung hilft mir auf jedenfall schonmal.
> Ein sehr guter Tipp, sich die Lektüre durchzulesen,
> allerdings dachte ich mit meinen jetzigen Kenntnissen
> lässt sich dieses System einfach durch die Anwendung der
> erlaubten Äquivalenzumformungen lösen.
> Morgen ist die wöchentliche Abgabe und ich krebse schon
> seit Tagen an dieser Aufgabe.
> Mein erster Schritt wäre in jedem Fall die erste Zeile
> durch zwei zu rechnen, damit dort eine 1 steht.
> Dann muss doch die 5 eliminiert werden, dann die -3, die 7
> usw.
> Was mir fehlt ist lediglich die sinnvollste und
> schlüssigste Äquivalenzumformung, die mich dazu bringt,
> die Nullen zu erzeugen.
Man sollte dazu das ganze erst einmal auf die obere Dreiecksform bringen. Und wenn du die hast, und kennst dich ja offensichtlich doch ein wenig mit der Materie aus, dann reicht dir das schon. Angenommen du hast das mit der oberen Dreiecksform geschafft. Dann hat die letzte Zeile die Form
0 0 0 [mm] a_{44} a_{45} a_{46} [/mm] | [mm] b_4
[/mm]
Seien [mm] x_i [/mm] mit [mm] i\in\{1;2;3;4;5;6\} [/mm] die Variablen. Dann steht doch mit der letzten Zeile bereits eine Lösung in Form von
[mm] x_4=\bruch{b_4-a_{45}x_5-a_{46}x_6}{a_{44}}
[/mm]
da. Üblicherweise wählt man jetzt noch irgendetwas wie
[mm] x_5=s, x_6=t
[/mm]
und setzt dann diese Lösung in die dritte Zeile ein. Diese liefert eine Lösung für [mm] x_3, [/mm] beides in die zweite Zeile eingesetzt eine für [mm] x_2 [/mm] und alles in die erste Zeile eingesetzt [mm] x_1.
[/mm]
Die Umformung auf Diagonalform wird halt oftmals aus didaktischen Gründen als handwerklich sauberer angesehen, vielleicht auch verlangt, sie ist jedoch nicht zwingend erforderlich.
Gruß, Diophant
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