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| Aufgabe | Sei A [mm] \in M_{n,n} (\IR) [/mm] invertierbar und b in [mm] M_{n,1}(\IR) [/mm] ein Spaltenvektor. Wie viele Lösungen kann das lineare Gleichungssystem Ax=b haben?
(a) Keine.
(b) Genau eine.
(c) Mindestens zwei. |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, wie ich hier darauf komme, wie viele Lösungen das Gleichungssystem hat. Könnt ihr mir vielleicht bitte mal erklären, wie ich da ansetze und was zu machen ist..ich finde keinen Ansatz.
VIele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Di 07.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Informacao,
wenn eine Matrix invertierbar ist, so ist ihre Determinante ungleich null. Das bedeutet aber auch, dass ihre Zeilen-/Spaltenvektoren lin. unabh. sind, das Gleichungssystem ist also nicht unterbestimmt. Die Antwort "mehrere Lösungen" scheidet folglich aus.
Anders ausgedrückt: Wenn man die Matrix (z.B. mittels Gauß) zur Diagonalmatrix umformt, so ist in der letzten Zeile das letzte Element ungleich null, es gibt also genau eine Lösung.
Wenn die letzte Zeile zu einer reinen Nullzeile würde, dann hinge es vom letzten Element des aus b entstandenen Vektors ab, ob es keine oder mehrere Lösungen gibt (ungleich null -> keine Lösung).
Schöne Grüße
ardik
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hmmm...und woher weiß ich jetzt, ob es eine oder keine lösung gibt??
viele grüße
informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Di 07.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Informacao,
ja, meine Antwort gestern Nacht war etwas unklar...
erst im zweiten Absatz deutete ich an, dass es wegen der Invertierbarkeit hier genau eine Lösung gibt.
Hab schon mal strukturierter erklärt...
Ich hole mal kurz aus, wie man nach Erzeugen einer Diagonal-Matrix (z.B. mittels Gauß-Verfahren) an der letzten Zeile die Zahl der Lösungen ablesen kann.
Als Beispiel setze ich ein LGS mit den Variablen x, y, z voraus.
Dann sieht die letzte Zeile etwa so aus:
[mm] $\begin{matrix} 0& 0& a& |& d\end{matrix}$
[/mm]
was ja nichts weiter bedeutet als
$a*z=d$
Nun sind zwei (genauer: drei) Fälle zu unterscheiden.
Fall 1:
Wenn mir nun eine invertierbare Koeffizientenmatrix hatten, also mit lin. unabh. Zeilen, so ist $a [mm] \ne [/mm] 0$ und folglich $z= [mm] \br{d}{a}$. [/mm] Und die anderen Variablen ergeben sich z.B. durch Einsetzen in die darüberliegenden Gleichungen. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Genau eine Lösung.
Fall 2:
Wenn aber $a=0$, so müssen wir wiederum zwei Fälle betrachten:
Fall 2a: Mit $d=0$ haben wir unten eine komplette Nullzeile. Die letzte Gleichung ist quasi verschwunden. Es verbleiben weniger Gleichungen als Variablen, das LGS ist unterbestimmt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gibt unendlich viele Lösungen.
Fall 2b: Mit [mm] $d\ne [/mm] 0$ allerdings sähe die letzte Gleichung so aus: $0 = d$ Das ist (mit [mm] $d\ne [/mm] 0$) ja keine wahre Aussage, es gibt keine Lösung.
So, das war jetzt hoffentlich besser! 
Schöne Grüße
ardik
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