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Forum "VK 22: Algebra 2007" - LGS/Gruppentheorie
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LGS/Gruppentheorie: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Do 30.08.2007
Autor: Andreas1985

Aufgabe
Für alle die sich auf Lineare Algebra vorbereiten wollen hier eine kleine Aufgabe:

2x+4y+6z=16
4x+6y+ z= 1
-x+3y+4z= 8

Es ist nur die Lösung des Linearen Gleichungssystems für x,y und z [mm] \in \IR [/mm] gefragt (Sorry, hatte vergessen das anzugeben).

Für alle, die sich auf Algebra vorbereiten wollen:

Sei G Gruppe. Zeige, dass dann [mm] f(a)^{-1}=f(a^{-1}) [/mm] für einen Gruppenhomomorphismus f ist.

Hinweis: Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei Gruppen, für die f(a*b)=f(a)*f(b) gilt.

Viel Spass und fragt ruhig nach wenn ihr selber noch Aufgaben habt. Bin zwar auch nicht der Schnellste, geb mir aber Mühe.

Gruss...

Andreas

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
LGS/Gruppentheorie: Hinweis LGS
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 Mo 03.09.2007
Autor: Andreas1985

Auf dem 2. Aufgabenblatt ist nur die Lösung des Linearen Gleichungssystems für x,y und z [mm] \in \IR [/mm] gefragt (Sorry, hatte vergessen das anzugeben).

Gruß Andreas

Bezug
        
Bezug
LGS/Gruppentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Mo 03.09.2007
Autor: Dr.Sway

Mit Hilfe des Gaußchen Algorithmus habe ich das Lineare Gleichungssystem gelöst:

2  4  6      16
0  2  11    31
0  0  41    123

Da Rang A = Aerw = n = 3 , d.h. das Gleichungsystem eindeutig lösbar

x= 1 ;  y= -1 ;  Z = 3

Bezug
                
Bezug
LGS/Gruppentheorie: richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:53 Di 04.09.2007
Autor: Andreas1985

Hallo Sabrina,

Deine Lösung ist denke ich richtig.

MfG Andreas



Bezug
        
Bezug
LGS/Gruppentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 So 09.09.2007
Autor: Kasper

Seien [mm] $(G_1,\cdot)$ [/mm] und [mm] $(G_2,\*)$ [/mm] Gruppen mit neutralen
Elementen [mm] $e_1,e_2$ [/mm] sowie [mm] $f:G_1\rightarrow G_2$ [/mm] Gruppenhomomorphismus

Offenbar ist [mm] $f(e_1)=f(e_1\cdot e_2)=f(e_1)\*f(e_1)$ [/mm] von rechts mit [mm] $\*f^{-1}(e_1)$ [/mm]

[mm] $f(e_1)\*f^{-1}(e_1)=f(e_1)\*f(e_1)\*f^{-1}(e_1)$ [/mm] also

[mm] $e_2=f(e_1)$ [/mm]

d.h. die Einsen werden aufeinander abgebildet, damit

[mm] $e_2=f(e_1)=f(a\cdot a^{-1})=f(a)\*f(a^{-1})$ [/mm] von links mit [mm] $f^{-1}(a)\*$ [/mm]

[mm] $f^{-1}(a)\*e_2=f^{-1}(a)\*f(a)\*f(a^{-1})$ [/mm]

[mm] $f^{-1}(a)=f(a^{-1})$ [/mm] qed.



Bezug
                
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LGS/Gruppentheorie: kleine Verschreiber
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:55 Di 11.09.2007
Autor: Andreas1985

Hallo,

denke alles richtig. Hast bloß ein paar kleine Verschreiber drin.

(Nicht [mm] f^{-1}(...) [/mm] sondern [mm] (f(...))^{-1} [/mm] usw... es ist ja nicht die Umkehrfunktion gemeint)

Ist aber nicht der Rede wert...

MfG Andreas

Bezug
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