LGS eindeutig lösbar < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] x_1+x_2+x_3=d_1
[/mm]
[mm] ax_1+bx_2+cx_3=d_2
[/mm]
[mm] a^2x_1+b^2x_2+c^2x_x=d_3
[/mm]
paarweise verschiedene Zahlen a,b,c sind gegeben.
Zeige, dass das folgende LGS stets eindeutig lösbar ist, egal wie [mm] d_i [/mm] gewählt wird. |
So und nun komme ich nicht weiter.
Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?
Bitte um Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Fr 23.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wie würdest du denn ein LGS lösen?
Alternativ kannst du den Weg über die Determinante gehen
Also: Ein wenig mehr Input deinerseits wäre hilfreich.
Marius
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Ein Gleichungssystem löse ich mit Hilfe des Eliminationsverfahrens.
Aber damit komme ich bei diesem Beispiel hier nicht sp recht klar!
in der zweiten und dritten zeile stehen immer a oder [mm] a^2 [/mm] , as aber ist mit der ersten Zeile? eine 1 vor das [mm] x_1 [/mm] und so schreiben?
LG Mathegirl
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Hi, mathegirl,
> Ein Gleichungssystem löse ich mit Hilfe des
> Eliminationsverfahrens.
Meinst Du damit das Additions-/Subtraktionsverfahren?
Dann würd' auf jeden Fall den Gauß-Algorithmus empfehlen!
> Aber damit komme ich bei diesem Beispiel hier nicht sp
> recht klar!
Doch, doch, das geht schon!
> in der zweiten und dritten zeile stehen immer a oder [mm]a^2[/mm] ,
> was aber ist mit der ersten Zeile? eine 1 vor das [mm]x_1[/mm] und so
> schreiben?
Richtig! Dort wo vor den Unbekannten "nichts" steht, musst Du Dir eine 1 hinzudenken!
Nun aber zum Verfahren selbst:
(1) Den Sonderfall a=0 würd' ich vorwegnehmen.
Da dann weder b noch c =0 sein dürfen und zudem b [mm] \not= [/mm] c gilt,
führt dieser Fall recht schnell zur Aussage: "eindeutig lösbar".
Teilergebnis: Bei mir führt dieser Fall am Ende zu folgender Matrix:
(wobei ich die rechte Seite gleich weglasse, denn beim Gauß-Verfahren
ist am Ende nur die Stelle rechts unten in der Koeffizientenmatrix wichtig!)
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & b & c \\ 0 & 0 & c(b-c)}
[/mm]
c(b-c) kann aus den oben genannten Gründen nicht 0 werden; damit ist die Aussage bewiesen!
(2) für den Fall a [mm] \not= [/mm] 0 musst Du etwas mehr rechnen.
Ich komme dabei jedenfalls in der Koeffizientenmatrix am Schluss auf folgenden Ausdruck:
(a-c)(b-c)
Weiter möchte ich Dir jetzt aber nicht helfen!
Probier's selbst aus!
mfG!
Zwerglein
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Auf den Ausdruck komme ich leider nicht.
die letzte Koeffizientenmatri sieht bei mir folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1\\ 0 & (a-b) & (a-c) \\ 0 & 0 & (-a^2+ac+ab-bc)}
[/mm]
was stimmt da nicht? Stimmt etwa die zweite zeile schon nicht?
Wenn ich dieses gezeigt habe, dann muss ich nihts weiter zeigen oder? Oder gibt es noch einen dritten fall? da fällt mir nämlich nichts zu ein.
Grüße
Mathegirl
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> Auf den Ausdruck komme ich leider nicht.
Hallo,
auf welchen denn jetzt genau?
Beziehst Du Dich auf zwergleins Fall 2?
> die letzte Koeffizientenmatri sieht bei mir folgendermaßen
> aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1\\ 0 & (a-b) & (a-c) \\ 0 & 0 & (-a^2+ac+ab-bc)}[/mm]
>
> was stimmt da nicht?
Die zweite Zeile stimmt.
Unten rechts steht bei Dir (c-a)(a-b), was ja [mm] \not=0 [/mm] ist.
Mein Ergebnis an dieser Stelle sieht zwar so aus wie Zwergleins, aber das ist eigentlich kein Grund zur Aufregung - vielleicht hast Du etwas anderes gerechnet, was auch richtig ist.
Die Zeilenstufnform ist ja nicht eindeutig, dies trifft erst auf die reduzierte Zeilenstufenform zu.
> Wenn ich dieses gezeigt habe,
Du hast jetzt die ZSF. Nun müßte noch ein Sprüchlein kommen, was Du daraus weshalb schließt.
> dann muss ich nihts weiter
> zeigen oder? Oder gibt es noch einen dritten fall? da
> fällt mir nämlich nichts zu ein.
Mir auch nicht. Zwischen dem untersuchten Fall a=0 und [mm] a\not=0 [/mm] gibt's ja nichts Drittes.
Gruß v. Angela
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