LGS finden < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Mi 27.01.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Betrachten sie die Vektoren
a=(-1,0,1,2) b=(3,4,-2,5) c=(1,4,0,9)
im [mm] R^4 [/mm] und finden sie ein homogenes Gleichungssystem dessen Lösungsraum genau durch die drei gegebenen Vektoren aufgespannt ist. |
hi zusammen,
meine idee war folgende.
ich mach hier erstmal ne matrix und bring die auf zeilenstufenform.
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & -2 & 5 \\ 1 & 4 & 0 & 9 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 4 & -2 & 5 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 0 & 9 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 4 & -2 & 5 \\ 0 & 4 & 1 & 11 \\ 0 & -8 & -2 & -22 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 4 & -2 & 5 \\ -1 & 0 & 1 & 2}
[/mm]
nun kann ich 2 variablen frei wählen
[mm] x_4 [/mm] = s [mm] x_3=t
[/mm]
dann is [mm] x_2 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] (t+11s)
und [mm] x_1 [/mm] = 3t+6s
dann wäre meine lösung
[mm] x=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{3 \\ - \bruch{1}{4} \\ 1 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{6 \\ - \bruch{11}{4} \\ 0 \\ 1}
[/mm]
stimmt das überhaupt ? die aufgabenstellung verwirrt mich etwas um ehrlich zu sein.
mfg
meep
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> Betrachten sie die Vektoren
>
> a=(-1,0,1,2) b=(3,4,-2,5) c=(1,4,0,9)
>
> im [mm]R^4[/mm] und finden sie ein homogenes Gleichungssystem dessen
> Lösungsraum genau durch die drei gegebenen Vektoren
> aufgespannt ist.
Hallo,
ein LGS, dessen Lösungsraum L=<(-1,0,1,2), (3,4,-2,5) , (1,4,0,9)> ist, ist zu bestimmen.
(Schreibt Ihr Vektoren wirklich in Zeilen? )
> ich mach hier erstmal ne matrix
Sag' doch mal, warum Du das getan hast. Du wirst Dir ja etwas dabei gedacht haben.
Wenn Du das notierst, wirst Du besser wissen, ob Du auf dem richtigen Weg bist.
> und bring die auf
> zeilenstufenform.
1. seh ich hier nirgends die ZSF!
2. darfst Du keine Gleichheitszeichen zwischen die Matrizen schreiben, denn sie sind nicht gleich.
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & -2 & 5 \\ 1 & 4 & 0 & 9 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 3 & 4 & -2 & 5 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 0 & 9 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 3 & 4 & -2 & 5 \\ 0 & 4 & 1 & 11 \\ 0 & -8 & -2 & -22 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 3 & 4 & -2 & 5 \\ -1 & 0 & 1 & 2}[/mm]
Prinzipiell geht es doch darum, ein GS zu finden, desses Lösungen (x,y,z,t) die Gestalt [mm] (x,y,z,t)=\lambda*(-1,0,1,2) [/mm] + [mm] \mu*(3,4,-2,5) +\nu*(1,4,0,9) [/mm] haben.
Aus dieser Erkenntnis ergibt sich eigentlich zwanglos ein Lösungsweg.
Etwas bequemer wird's, wenn man erstmal eine Basis des Lösungsraumes bestimmt.
Mit dem Weg, den Du eingeschlagen hast, hast Du übrigens den Orthogonalraum zu L bestimmt - mal abgesehen von Rechenfehlern.
das ist eine Aufgabenstellung, die durchaus auch vorkommt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mi 27.01.2010 | | Autor: | meep |
hallo angela, danke für deine hilfe, das mit der zeilenstufenform hab ich wieder falsch hingeschrieben, also ein tippfehler meinerseits. da mein ansatz sowieso falsch ist machts ja nix.
nochmals danke für deine hilfe, ich werds nun gleich durchrechnen mit deinem ansatz
lg
meep
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Mi 27.01.2010 | | Autor: | meep |
da das lgs doch homogen sein soll ist doch im endeffekt das meine matrix,
da ja (x,y,z,t) = 0
[mm] \pmat{ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 5 & 9}
[/mm]
und das am ende umgeformt gibt mir das, folgende matrix
=> [mm] \pmat{ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
=> [mm] \pmat{ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1}
[/mm]
und das is doch im endeffekt nix anderes als die basis von den 3 vektoren.
sorry stehe atm etwas aufm schlauch
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> da das lgs doch homogen sein soll ist doch im endeffekt das
> meine matrix,
> da ja (x,y,z,t) = 0
Hallo,
nein.
Die Lösung (x,y,z,t) des LGS soll doch nicht die triviale sein, sondern eine Linearkombination der drei Vektoren.
Eliminier in dem, was ich Dir aufgeschrieben habe, mal die griechischen Buchstaben. Übrig bleibt ein GS,welches tut, was es soll.
Es ist auch keine schlechte Idee, erstmal eine Basis des von den drei Vektoren aufgespannten Raumes zu bestimmen, dann ist der Rest bequemer.
> [mm]\pmat{ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 5 & 9}[/mm]
>
> und das am ende umgeformt gibt mir das, folgende matrix
>
> => [mm]\pmat{ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> => [mm]\pmat{ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1}[/mm]
>
> und das is doch im endeffekt nix anderes als die basis von
> den 3 vektoren.
Wenn, dann: eine Basis des aufgespannten Raumes.
Wie lautet sie denn eigentlich?
Gruß v. Angela
>
> sorry stehe atm etwas aufm schlauch
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:24 Mi 27.01.2010 | | Autor: | meep |
x,y,z,t sind reelle einträge oder ? wenn ja dann komm ich im endeffekt auf folgende lösungen
[mm] -\lambda [/mm] + 3 [mm] \mu [/mm] + [mm] \nu [/mm] = x
[mm] \mu [/mm] + [mm] \nu [/mm] = y
das ist alles was ich da rausbekomme.
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> x,y,z,t sind reelle einträge oder ? wenn ja dann komm ich
> im endeffekt auf folgende lösungen
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> [mm]-\lambda[/mm] + 3 [mm]\mu[/mm] + [mm]\nu[/mm] = x
>
> [mm]\mu[/mm] + [mm]\nu[/mm] = y
>
> das ist alles was ich da rausbekomme.
Hallo,
ich hab' jetzt keine Lust, Detektiv zu spielen. Mich interessiert nicht nur der "Endeffekt".
Kannst Du vielleicht mal von A-Z aufschreiben, was Du gemacht hast, mit welcher Gleichung Du begonnen hast usw.
Dann wird das nachvollziehbar, und man sieht, ob es richtig oder falsch ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 27.01.2010 | | Autor: | meep |
gut, hier ist alles vorgerechnet
-1 3 1 x
0 4 4 y
1 -2 0 z
2 5 9 t
umgeformt gibt das
-1 3 1 x
0 4 4 y
0 1 1 x+z
0 11 11 2x-t
und weiter umgeformt
-1 3 1 x
0 1 1 y
0 0 0 4(x+z)-y
0 0 0 11(x+z) - (2x-t)
und als gleichungen aufgeschrieben
- [mm] \lambda [/mm] + 3 [mm] \mu [/mm] + [mm] \nu [/mm] = x
[mm] \mu [/mm] + [mm] \nu [/mm] = y
so vllt ists nun besser zum drüberschauen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Mi 27.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> gut, hier ist alles vorgerechnet
>
> -1 3 1 x
> 0 4 4 y
> 1 -2 0 z
> 2 5 9 t
>
> umgeformt gibt das
>
> -1 3 1 x
> 0 4 4 y
> 0 1 1 x+z
> 0 11 11 2x-t
In der letzten Zeile passt es nicht.
[mm] \pmat{-1&3&1&x\\0&4&4&y\\1&-2&0&z\\2&5&9&t}
[/mm]
[mm] \pmat{-1&3&1&x\\0&4&4&y\\0&1&1&x+z\\0&11&11&2x\red{+}t}
[/mm]
> und weiter umgeformt
>
> -1 3 1 x
> 0 1 1 y
> 0 0 0 4(x+z)-y
> 0 0 0 11(x+z) - (2x-t)
Du hast in Zeile 2 vergessen, das y zu teilen, und der Vorzeichenfehler zieht sich halt durch.
[mm] \pmat{-1&3&1&x\\0&1&1&\bruch{y}{\red{4}}\\0&0&0&4(x+z)-y\\0&0&0&11(x+z)-(2x\red{+}t)}
[/mm]
>
> und als gleichungen aufgeschrieben
>
> - [mm]\lambda[/mm] + 3 [mm]\mu[/mm] + [mm]\nu[/mm] = x
>
> [mm]\mu[/mm] + [mm]\nu[/mm] = y
>
> so vllt ists nun besser zum drüberschauen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mi 27.01.2010 | | Autor: | meep |
ok von den rechenfehlern mal abgesehen, was ist nun die lösung von dem ganzen gedöns ?
ich hab das nun ausgerechnet aber mir scheints dass das noch nicht die geforderte lösung ist.
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> ok von den rechenfehlern mal abgesehen, was ist nun die
> lösung von dem ganzen gedöns ?
>
> ich hab das nun ausgerechnet aber mir scheints dass das
> noch nicht die geforderte lösung ist.
Hallo,
ich hab jetzt nicht verfolgt, was aktuell richtig und falsch gerechnet ist, aber es geht ja auch ums Prinzip.
Die letzte Matrix war
$ [mm] \pmat{-1&3&1&x\\0&1&1&\bruch{y}{\red{4}}\\0&0&0&4(x+z)-y\\0&0&0&11(x+z)-(2x\red{+}t)} [/mm] $,
und Dein Gleichungssystem lautet
[mm] 11(x+z)-(2x\red{+}t=0
[/mm]
4(x+z)-y=0.
Du kannst ja nun die Probe machen und schauen, ob der Lösungsraum mit dem geforderten übereinstimmt.
Gruß v. Angela
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