LGS, lösbarkeit, parameter. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aloha an alle Mathe-Menschen hier!
Da ich bisl Faul im letzten semester war und Algebra n bisl vernachlässigt hab, vollgende frage!
gegeben sei das LGS
[mm] \pmat{ 2 & 5 & -1 & 4 \\ -6 & 1 & 3 & 2 \\ -4 & 6 & 3 & 6 \\ -16 & -8 & 8 & t}\vektor{ x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 } [/mm] = [mm] \vektor{-5 \\ 9 \\ 2 \\ s }
[/mm]
gesucht: der Rang der erweiterterten Koeffizienten-Matrix (a,c) in abhängikeit von den beiden parametern t,s [mm] \in \IR [/mm] !
des weiteren die Frage wann das LGS nicht lösbar ist und für welche Werte t und s, es eindeutig lösbar ist!
SO.. also ich hab schoma die erweiterte Matrix in die Form (elementare Umformung):
[mm] \pmat{ 2 & 5 &-1 & 4 & -5 \\ 0 & 16 & 0 & 14 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & (t+4) & (s-28) }
[/mm]
gebracht. also trapezform. daraus geht doch nun hervor das wenn t= -4 und s = 28, der rang der Matrix = 3 sein muss oder? denn dann is die unterste reihe eine nullzeile. der Rang is dann kleiner als die spaltenzahl n was dazu führt das es keine eindeutige lösung gibt, sondern nur eine, von neuen parametern abhängige lösung.
Eindeutig lösbar wäre es dann wenn t ungleich -4 und s ungleich 28 wäre....also so wie ich das sehe ^^
wäre nett wenn jemand etwas dazu sagen könnte.
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Fr 05.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hi, also ich gehe mal davon aus, dass Du die Matrix korrekt in die Zeilenstufenform gebracht hast - das habe ich nicht extra nachgerechnet. Dann ist für t=-4 und s=28 das LGS nicht eindeutig lösbar; es existieren unendlich viele Lösungen. Der Rang der Matrix ist dann drei, das stimmt alles. Nicht lösbar ist das LGS für t=-4 und s [mm] \not=28, [/mm] denn dann steht da 0* [mm] x_{4} [/mm] = z mit [mm] z\not=0.
[/mm]
Dass das LGS für [mm] t\not=-4 [/mm] und [mm] s\not=28 [/mm] eindeutig lösbar ist, stimmt so nicht ganz; s=28 ist erlaubt, nur [mm] t\not=-4 [/mm] ist wichtig. Für s=28 ist dann [mm] x_{4} [/mm] = 0. Der Rang der Matrix ist dann 4.
Beste Grüße, Matthias.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Fr 05.08.2005 | | Autor: | Towel-Man |
Vielen dank für die Hilfe!
Konnte das soweit nun nachvollziehen.
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