LGS lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Sa 13.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich schaffe es irgendwie einfach nicht, die Gleichung
$\ Ax = 0 $ mit $\ A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 } [/mm] $ und $\ x = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \in \IR^3 [/mm] $ zu lösen.
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann. Ich kapier nicht, was ich falsch mache.
Meine Rechnung:
I $\ [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 $
II $\ [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 $
III $\ [mm] -x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = 0 $
I $\ [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 $
II $\ [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = 0 $
III $\ [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = 0 $
I $\ [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 $
II $\ [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = 0 $
Hier steck' ich fest.
Hab's auch schon anders probiert und kam trozdem auf kein Ergebnis.
Grüße
ChopSuey
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> Hallo,
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> ich schaffe es irgendwie einfach nicht, die Gleichung
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> [mm]\ Ax = 0[/mm] mit [mm]\ A = \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 }[/mm]
> und [mm]\ x = \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \in \IR^3[/mm] zu lösen.
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann. Ich kapier
> nicht, was ich falsch mache.
> Meine Rechnung:
>
>
> I [mm]\ x_1 + x_3 = 0[/mm]
>
> II [mm]\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 0[/mm]
>
> III [mm]\ -x_1 + x_2 - 2x_3 = 0[/mm]
>
>
> I [mm]\ x_1 + x_3 = 0[/mm]
>
> II [mm]\ x_2 - x_3 = 0[/mm]
>
> III [mm]\ x_2 - x_3 = 0[/mm]
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>
> I [mm]\ x_1 + x_3 = 0[/mm]
>
> II [mm]\ x_2 - x_3 = 0[/mm]
Hallo,
also
[mm] x_1=-x_3
[/mm]
[mm] x_2=x_3.
[/mm]
Alle Lösungen [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] haben die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-x_3\\x_3\\x_3}=x_3*\vektor{-1\\1\\1}, [/mm] und der Vektor [mm] \vektor{-1\\1\\1} [/mm] ist eine Basis des Lösungsraumes des homogenen Systems (= Basis des kerns der Matrix).
Aus der red. ZSF kann man es übrigens leicht ablesen, zeig# ich Dir, wenn Du sie postest.
Gruß v. Angela
>
> Hier steck' ich fest.
> Hab's auch schon anders probiert und kam trozdem auf kein
> Ergebnis.
>
> Grüße
> ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Sa 13.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela,
> > Hallo,
> >
> > ich schaffe es irgendwie einfach nicht, die Gleichung
> >
> > [mm]\ Ax = 0[/mm] mit [mm]\ A = \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 }[/mm]
> > und [mm]\ x = \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \in \IR^3[/mm] zu lösen.
> >
> > Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann. Ich kapier
> > nicht, was ich falsch mache.
> > Meine Rechnung:
> >
> >
> > I [mm]\ x_1 + x_3 = 0[/mm]
> >
> > II [mm]\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 0[/mm]
> >
> > III [mm]\ -x_1 + x_2 - 2x_3 = 0[/mm]
> >
> >
> > I [mm]\ x_1 + x_3 = 0[/mm]
> >
> > II [mm]\ x_2 - x_3 = 0[/mm]
> >
> > III [mm]\ x_2 - x_3 = 0[/mm]
> >
> >
> > I [mm]\ x_1 + x_3 = 0[/mm]
> >
> > II [mm]\ x_2 - x_3 = 0[/mm]
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> Hallo,
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> also
> [mm]x_1=-x_3[/mm]
> [mm]x_2=x_3.[/mm]
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> Alle Lösungen [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}[/mm] haben die Gestalt
>
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-x_3\\x_3\\x_3}=x_3*\vektor{-1\\1\\1},[/mm]
> und der Vektor [mm]\vektor{-1\\1\\1}[/mm] ist eine Basis des
> Lösungsraumes des homogenen Systems (= Basis des kerns der
> Matrix).
Ach, so geht das  . Gut, vielen Dank.
Doch warum ist die Lösung schon die Basis von $\ ker f $ ?
Die Funktion $\ f $ ist $\ f: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] , \ \ x [mm] \mapsto [/mm] Ax $
>
> Aus der red. ZSF kann man es übrigens leicht ablesen,
> zeig# ich Dir, wenn Du sie postest.
Weiß leider nicht, was du meinst. Worum geht's?
>
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> > Hier steck' ich fest.
> > Hab's auch schon anders probiert und kam trozdem auf
> kein
> > Ergebnis.
> >
> > Grüße
> > ChopSuey
> >
>
Grüße
ChopSuey
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> Hallo Angela,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > ich schaffe es irgendwie einfach nicht, die Gleichung
> > >
> > > [mm]\ Ax = 0[/mm] mit [mm]\ A = \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 }[/mm]
> > > und [mm]\ x = \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \in \IR^3[/mm] zu lösen.
> > >
> > > Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann. Ich kapier
> > > nicht, was ich falsch mache.
> > > Meine Rechnung:
> > >
> > >
> > > I [mm]\ x_1 + x_3 = 0[/mm]
> > >
> > > II [mm]\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 0[/mm]
> > >
> > > III [mm]\ -x_1 + x_2 - 2x_3 = 0[/mm]
> > >
> > >
> > > I [mm]\ x_1 + x_3 = 0[/mm]
> > >
> > > II [mm]\ x_2 - x_3 = 0[/mm]
> > >
> > > III [mm]\ x_2 - x_3 = 0[/mm]
> > >
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> > > I [mm]\ x_1 + x_3 = 0[/mm]
> > >
> > > II [mm]\ x_2 - x_3 = 0[/mm]
> >
> > Hallo,
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> > also
> > [mm]x_1=-x_3[/mm]
> > [mm]x_2=x_3.[/mm]
> >
> > Alle Lösungen [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}[/mm] haben die Gestalt
> >
> >
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-x_3\\x_3\\x_3}=x_3*\vektor{-1\\1\\1},[/mm]
> > und der Vektor [mm]\vektor{-1\\1\\1}[/mm] ist eine Basis des
> > Lösungsraumes des homogenen Systems (= Basis des kerns der
> > Matrix).
>
> Ach, so geht das . Gut, vielen Dank.
> Doch warum ist die Lösung schon die Basis von [mm]\ ker f[/mm] ?
Weil der Kern all das ist, was auf die Null abgebilset wird, also all jene x, für die f(x)=0, also Ax=0 gilt.
>
> Die Funktion [mm]\ f[/mm] ist [mm]\ f: \IR^3 \to \IR^3 , \ \ x \mapsto Ax[/mm]
>
> >
> > Aus der red. ZSF kann man es übrigens leicht ablesen,
> > zeig# ich Dir, wenn Du sie postest.
>
> Weiß leider nicht, was du meinst. Worum geht's?
Darum, daß man lineare Gleichungssysteme in Matrixform schreiben kann und aus der reduziertenZeilenstufenform leicht den Kern ablesen.
Gruß v. Angela
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> >
> > Gruß v. Angela
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> > >
> > > Hier steck' ich fest.
> > > Hab's auch schon anders probiert und kam trozdem auf
> > kein
> > > Ergebnis.
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> > > Grüße
> > > ChopSuey
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> >
>
> Grüße
> ChopSuey
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