LGS lösen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | aufgabe:
[mm] x_{1}+3x_{2}-x_{3}=2
[/mm]
[mm] 2x_{1}+5x_{2}+2x_{4}=7
[/mm]
[mm] x_{1}+2x_{2}+x_{3}+4x_{4}=6
[/mm]
[mm] 3x_{1}+9x_{2}-3x_{3}=6
[/mm]
Bestimmen Sie die Lösung des obigen Gleichungssystem. |
Hallo liebe Forumfreunde,leider komme ich bei der obigen aufgabe nicht weiter deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
Nach übertragen der Gleichung in eine Matrix und nach Umformung der linken spalte nach 0(außer ganz oben):habe ich folgendes raus:
[mm] x_{1}+3x_{2}-x_{3}=2
[/mm]
[mm] -x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=3
[/mm]
[mm] -x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=4
[/mm]
da nun rg(A)=3=rg(A|b)=3<n hat die Gleichung unendlich viele Lösungen.
nun meine frage:
woher weiß ich jetzt welche variable gebunden bzw. welche frei ist?wie komme ich hier weiter?ist es überhaupt bishierhin korrekt?
würd mich über jede Hilfe freuen,
mfg
danyal
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Sa 12.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der erste Schritt ist korrekt.
[mm]\vmat{x_{1}+3x_{2}-x_{3}=2\\
2x_{1}+5x_{2}+2x_{4}=7\\
x_{1}+2x_{2}+x_{3}+4x_{4}=6\\
3x_{1}+9x_{2}-3x_{3}=6}[/mm]
2*Gl.1-Gl.2 Gl.1-Gl.3 und 3*Gl.1-Gl.4
[mm]\vmat{x_{1}+3x_{2}-x_{3}=2\\
x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=-3\\
x_{2}-2x_{3}-4x_{4}=-4\\
0=0}[/mm]
Wenn man nun Gl2-Gl3 rechnet, bekommst du
[mm]\vmat{x_{1}+3x_{2}-x_{3}=2\\
x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=-3\\
-2x_{4}=1\\
0=0}[/mm]
Daraus kannst du ja nun [mm] x_{4} [/mm] eindeutig bestimmen, bleibt nun noch Gleichung 2, die dann einen Zusammenhang zwischen [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] herstellt. Daher macht es Sinn, eine der beiden Variablen als Parameter zu definieren.
Marius
|
|
|
| |
|
hallo und vielen dank für die schnelle Hilfe.
das Prinzip habe ich jetzt verstanden,nachdem du es gesagt hast,Aber ich habe eine verständnisfrage:
> Hallo
>
>
> Der erste Schritt ist korrekt.
>
> [mm]\vmat{x_{1}+3x_{2}-x_{3}=2\\
2x_{1}+5x_{2}+2x_{4}=7\\
x_{1}+2x_{2}+x_{3}+4x_{4}=6\\
3x_{1}+9x_{2}-3x_{3}=6}[/mm]
>
> 2*Gl.1-Gl.2 Gl.1-Gl.3 und 3*Gl.1-Gl.4
>
> [mm]\vmat{x_{1}+3x_{2}-x_{3}=2\\
x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=-3\\
x_{2}-2x_{3}-4x_{4}=-4\\
0=0}[/mm]
>
> Wenn man nun Gl2-Gl3 rechnet, bekommst du
>
>
> [mm]\vmat{x_{1}+3x_{2}-x_{3}=2\\
x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=-3\\
-2x_{4}=1\\
0=0}[/mm]
>
> Daraus kannst du ja nun [mm]x_{4}[/mm] eindeutig bestimmen, bleibt
> nun noch Gleichung 2, die dann einen Zusammenhang zwischen
> [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] herstellt. Daher macht es Sinn, eine der
> beiden Variablen als Parameter zu definieren.
genau dazu ist die frage: wieso kann ich nicht [mm] x_{1} [/mm] als Parameter nehmen,denn in der 1.gleichung wird doch auch ein Zusammenhang zwischen [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] hergestellt oder nicht?
vielen dank im voraus.
mfg
danyal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Sa 12.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Auch [mm] x_{1} [/mm] kannst du als Parameter definieren, keine Frage. Wichtig ist, dass du nicht [mm] x_{4} [/mm] erwischst, denn [mm] x_{4} [/mm] tauchte eben alleine in einter Gleichung auf.
Marius
|
|
|
|
