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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - LGS lösen
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LGS lösen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Fr 27.04.2012
Autor: Big_Head78

Aufgabe
Zu lösen:

[mm] \pmat{ 1 & 4 & 2 \\ 3 & 13 & 7 \\ 2 & 4 & 0 } \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 3} [/mm]


Hallo,

ein wenig umformen liefert:


[mm] \pmat{ 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 } \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] II und III lin. abh. [mm] \Rightarrow [/mm] unendl. viele Lsg.

also eine Variable frei wählbar: sei y=s

[mm] \Rightarrow [/mm] z=-s und x=1-2s

[mm] \Rightarrow [/mm] L={ [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3 [/mm] | [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s \vektor{-2 \\ 1 \\ -1} [/mm] }

Kann man das so vorzeigen?

        
Bezug
LGS lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Fr 27.04.2012
Autor: donquijote


> Zu lösen:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 2 \\ 3 & 13 & 7 \\ 2 & 4 & 0 } \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 3}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ein wenig umformen liefert:
>  
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 } \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] II und III lin. abh. [mm]\Rightarrow[/mm] unendl. viele
> Lsg.
>  
> also eine Variable frei wählbar: sei y=s
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] z=-s und x=1-2s
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

L={ [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3[/mm] | [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]

> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s \vektor{-2 \\ 1 \\ -1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  
> Kann man das so vorzeigen?

Nein. Überleg dir nochmal, was passiert, wenn du die letzte Zeile eliminieren möchtest.

Bezug
                
Bezug
LGS lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Fr 27.04.2012
Autor: Big_Head78

Oh da hatte ich nicht aufgepasst...

wir haben hier die letzten beiden Zeilen der Koeffizientnenmatrix, die lin. abh. sind. Jedoch gilt dies ja nicht für die erweiterte Koeff.matrix. und weil somit gilt : Rg(A) [mm] \not= [/mm] Rg(A|c) [mm] \Rightarrow [/mm] keine Lsg.

Stimmt das so?

Bezug
                        
Bezug
LGS lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Fr 27.04.2012
Autor: donquijote


> Oh da hatte ich nicht aufgepasst...
>  
> wir haben hier die letzten beiden Zeilen der
> Koeffizientnenmatrix, die lin. abh. sind. Jedoch gilt dies
> ja nicht für die erweiterte Koeff.matrix. und weil somit
> gilt : Rg(A) [mm]\not=[/mm] Rg(A|c) [mm]\Rightarrow[/mm] keine Lsg.
>  
> Stimmt das so?

Ja, jetzt passt es.

Bezug
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