LGS mit 3 Gl. und 4 Variablen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Mo 20.08.2012 | | Autor: | LeCPU |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Matheraum-Mitglieder,
habe bisher in diesem Forum nur mitgelesen und habe mich nun doch entschlossen mich anzumelden... Und prompt taucht eine Aufgabe auf, die ich (so ohne weiteres) nicht gelöst bekomme!
In der Aufgabe soll ich die Lagebeziehung zweier Ebenen ermitteln und bin nun bei einem LGS mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten gestoßen, wie kann ich vorgehen? Ich würde es gerne mit dem Gauß-Verfahren lösen...
I r + 3s - u + 2v = -2
II -2r + s - u - v = 2
III 4s - 2u - 3v = 0
Natürlich lässt sich dieses LGS mit dem Taschenrechner lösen:
r - 4v = 0
s + 7,5v = -2
u + 16,5v = -4
... aber ich hätte es gerne einmal selber durchgerechnet!
Vielleicht könnt ihr mir einen Tip geben? Ich komme soweit, dass ich aus der zweiten Gleichung das r eliminiere, dan könnte man aus der dritten gleichung ja noch das s eliminieren, das r in der ersten Gleichung bleibt jedoch :(
Viele Grüße und noch einen schönen Abend
-LeCPU-
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Hallo LeCPU, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> habe bisher in diesem Forum nur mitgelesen und habe mich
> nun doch entschlossen mich anzumelden... Und prompt taucht
> eine Aufgabe auf, die ich (so ohne weiteres) nicht gelöst
> bekomme!
Wie's der Zufall so will...
> In der Aufgabe soll ich die Lagebeziehung zweier Ebenen
> ermitteln und bin nun bei einem LGS mit 3 Gleichungen und 4
> Unbekannten gestoßen,
Das ist zwar möglich, aber nicht so recht wahrscheinlich. Wie waren die Ebenen denn gegeben? Gib mal die ganze Aufgabe und ein paar Hinweise zu Deinem Rechenweg, dann können wir wahrscheinlich besser helfen.
> wie kann ich vorgehen? Ich würde es
> gerne mit dem Gauß-Verfahren lösen...
Warum nicht? Oder, anders gesagt, warum? 
> I r + 3s - u + 2v = -2
> II -2r + s - u - v = 2
> III 4s - 2u - 3v = 0
>
> Natürlich lässt sich dieses LGS mit dem Taschenrechner
> lösen:
>
> r - 4v = 0
> s + 7,5v = -2
> u + 16,5v = -4
Keine gute Lösung. Das geht noch "schöner".
> ... aber ich hätte es gerne einmal selber durchgerechnet!
>
> Vielleicht könnt ihr mir einen Tip geben? Ich komme
> soweit, dass ich aus der zweiten Gleichung das r
> eliminiere, dan könnte man aus der dritten gleichung ja
> noch das s eliminieren, das r in der ersten Gleichung
> bleibt jedoch :(
Bei drei Gleichungen und vier Variablen ist ein lineares Gleichungssystem ja garantiert nicht eindeutig lösbar. Du wirst also einen Parameter über (übrig, eigentlich) behalten, am einfachsten eine der Variablen.
Und genau das passiert mit Gauß...
Rechne mal vor, was Du da heraus bekommst, dann rechnen wirs gerne nach und geben die nötigen Hinweise. So funktioniert das hier.
Herzliche Grüße und viel Erfolg!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Di 21.08.2012 | | Autor: | LeCPU |
Hi,
danke für die schnelle Antwort, habe jetzt auch erst einmal weitergerechnet und komme auch auf das selbe Ergebnis wie der Taschenrechner 
Ich muss in dem Oben genannten LGS ja schließlich in jeder Gleichung 2 der 3 Variablen (r,s,u) eliminieren, so dass ich auf das richtige Ergebnis komme...
@reverend: Was gefällt dir an dieser Lösung denn nicht? Mir ist schon klar, dass es unendlich viele Lsg. gibt, aber besser bekomme ich es nicht hin!
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Mi 22.08.2012 | | Autor: | hawe |
Hallo!
Nachdem klar ist, dass wenn sich Ebenen schneiden eine Gerade zu erwarten ist könntest Du einen der Parameter für die Gerade bereits festlegen, sagen wir Parameter s. Damit erhalten wir ein 3x3 GLS
[mm] \[\begin{pmatrix}2 & -1 & 1 & -3\,s-2\cr -1 & -1 & -2 & 2-s\cr -3 & -2 & 0 & -4*s\end{pmatrix}\]
[/mm]
Das nach Gauss gelöst
v=-(2*s+4)/15, u=(11*s+2)/5, r=-(8*s+16)/15
und in eine der Ebenen eingesetzt ergibt die Schnittgerade
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