LGS mit 3 Variabeln < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Di 03.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | Gesucht sind alle Minima und Maxima auf der Domäne d:= [mm] x^2+y^2\le4 [/mm] der Funktion: [mm] x*(x-1)*e^{-y^2} [/mm] |
Hallo alle zusammen. Also mein Problem ist, dass ich einen Punkt finde, welche mein Taschenrechner / Derive offensichtlich nicht findet, irgendwo werde ich wohl einen Fehler verbaut haben den ich andauernd übersehe.
Also ich erspar mir jetzt mal den Rest der Rechnung (Bestimmung aller min / max) und gehe gleich auf den Lagrange-Teil über:
Meine Funktion sieht so aus:
x*(x-1)*e^(-y²) + [mm] \lambda*(x²+y²-4)
[/mm]
Partielles Ableiten:
dx: [mm] e^{-y²}*(2x-1)+2*x*\lambda [/mm] =0
dy: -2*y*x*e^(-y²)*(x-1) + [mm] 2*y*\lambda [/mm] = 0
dl: x²+y²-4=0
Nun nehme ich dy und sehe:
[mm] 2y*(-x*e^{-y²}*(x-1)+\lambda)= [/mm] 0
daraus folgt der Punkt:
y=0 mit x² + 0² = 4 => P1(2,0) und P2(-2,0 - nicht im Definitionsbereich enthalten, somit gestrichen)
löse ich obrige Formel auf [mm] \lambda [/mm] auf so erhalte ich:
[mm] \lambda= x*e^{-y²}*(x-1)
[/mm]
eingesetzt in dx ergibt dies - und vereinfacht:
[mm] e^{-y²}*(2x-1)+2*[x*(x-1)]*e^{-y²}
[/mm]
[mm] e^{-y²}*(2x-1+2*x*(x-1))=0
[/mm]
streiche ich [mm] e^{-y²} [/mm] und multipliziere aus so bekomme ich:
2x²-1=0 und somit [mm] x1=\wurzel{1/2} [/mm] und [mm] x2=-\wurzel{1/2} [/mm] welches mir die y Koordinaten: + / - [mm] \wurzel{7/2} [/mm] ausgibt.
Die Punkte sind innerhalb des Kreises, wobei [mm] -\wurzel{1/2} [/mm] natürlich wieder gestrichen werden kann.
Derive und mein TI können meine Freude über dieses Ergebnis nicht mit mir teilen. Habe ich einen Rechenfehler gemacht oder etwas falsch eingesetzt?
Dankesehr
lg
Zuggel
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> Gesucht sind alle Minima und Maxima auf der Domäne d:=
> [mm]x^2+y^2\le4[/mm] der Funktion: [mm]x*(x-1)*e^{-y^2}[/mm]
> Hallo alle zusammen. Also mein Problem ist, dass ich einen
> Punkt finde, welche mein Taschenrechner / Derive
> offensichtlich nicht findet, irgendwo werde ich wohl einen
> Fehler verbaut haben den ich andauernd übersehe.
>
> Also ich erspar mir jetzt mal den Rest der Rechnung
> (Bestimmung aller min / max) und gehe gleich auf den
> Lagrange-Teil über:
>
> Meine Funktion sieht so aus:
>
> x*(x-1)*e^(-y²) + [mm]\lambda*(x²+y²-4)[/mm]
>
> Partielles Ableiten:
>
> dx: [mm]e^{-y²}*(2x-1)+2*x*\lambda[/mm] =0
> dy: -2*y*x*e^(-y²)*(x-1) + [mm]2*y*\lambda[/mm] = 0
> dl: x²+y²-4=0
>
> Nun nehme ich dy und sehe:
>
> [mm]2y*(-x*e^{-y²}*(x-1)+\lambda)=[/mm] 0
> daraus folgt der Punkt:
> y=0 mit x² + 0² = 4 => P1(2,0) und P2(-2,0 - nicht im
> Definitionsbereich enthalten, somit gestrichen)
>
> löse ich obrige Formel auf [mm]\lambda[/mm] auf so erhalte ich:
>
> [mm]\lambda= x*e^{-y²}*(x-1)[/mm]
>
> eingesetzt in dx ergibt dies - und vereinfacht:
>
> [mm]e^{-y²}*(2x-1)+2*[x*(x-1)]*e^{-y²}[/mm]
Hallo, hier ist Dein Fehler.
Es ist [mm]e^{-y²}*(2x-1)+2*x*\green{\lambda}[/mm] =0,
also ergibt sich
[mm] e^{-y²}*(2x-1)+2*x*\green{ x*e^{-y²}*(x-1)}=0
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Di 03.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
Das ist ja viel schlimmer als vorher... Dann bekomme ich:
2x³+2x²+2x-1 = 0 heraus. Das ohne Taschenrechner lösen, ach du grüne Neune...
Ich habe gerade in den Unterlagen nachgeschaut und festgestellt, dass wir soetwas während des Unterrichts nie behandelt hatten.
Wie löst man so eine Gleichung überhaupt? Ich hatte bis jetzt nur Fälle bis zur quadratischen Gleichung...
Hab noch etwas rumgegoogelt, dort wurde gesagt Polynomdivison, aber ich sehe hier keinen Ansatz für einen Divisor...
lg
Zuggel
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> Das ist ja viel schlimmer als vorher... Dann bekomme ich:
>
> 2x³+2x²+2x-1 = 0 heraus. Das ohne Taschenrechner lösen, ach
> du grüne Neune...
> Ich habe gerade in den Unterlagen nachgeschaut und
> festgestellt, dass wir soetwas während des Unterrichts nie
> behandelt hatten.
> Wie löst man so eine Gleichung überhaupt? Ich hatte bis
> jetzt nur Fälle bis zur quadratischen Gleichung...
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> Hab noch etwas rumgegoogelt, dort wurde gesagt
> Polynomdivison, aber ich sehe hier keinen Ansatz für einen
> Divisor...
Hallo,
eine Möglichkeit zur exakten Lösung ist das fröhliche Nullstellenraten: man errät eine Nullstelle, dividiert dann durch (x-Nullstelle) und bestimmt die eventullen Nullstellen des entstehenden quadratischen Polynoms.
Man kann sich (rein theoretisch) auch der Formeln v. Cardano bedienen.
In der Praxis wird man ein Näherungsverfahren verwenden.
Gruß v. Angela
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