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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Loesungsmenge des Gleichungssytem im Abhaengigkeit von r:
[mm] \pmat{ r & 1 & 1 \\ 1 & r & 1 \\ 1 & 1 & r } \vektor{x \\ y \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] |
Hallo, wie kann ich denn hier vorgehen?
ich koennte ja die 1 ganz links unten mit [mm] \bruch{1}{r} [/mm] * (1) wegbekommen. Was aber wenn r=0 ist?
Gibts da noch ne bessere Methode?
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Mi 19.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Eine elegantere Methode als den  Gauß-Algorithmus gibt es hier meiner Meinung nach nicht.
Beachte aber die beiden Sonderfälle r=0 und r=1 separat.
Marius
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ja soll ich dann einfach mal mit 1/r *(1) durchrechnen und spaeter dann den Fall r=0 gesondert behandeln?
Dann komm ich nur noch auf andere Werte wie 1- 1/r die ich dann nicht mehr wegbekomme.
Heijajei, wie kompliziert :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 19.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
> ja soll ich dann einfach mal mit 1/r *(1) durchrechnen und
> spaeter dann den Fall r=0 gesondert behandeln?
Yep.
> Dann komm ich nur noch auf andere Werte wie 1- 1/r die ich
> dann nicht mehr wegbekomme.
>
> Heijajei, wie kompliziert :)
Ein kleiner Tipp noch, dann wirds auch einfacher
Nimm Gl2 und 3 mal r, dann umgehst du die Brüche.
Also:
$ \pmat{ r & 1 & 1 \\ 1 & r & 1 \\ 1 & 1 & r } \vektor{x \\ y \\ y} $ = $ \vektor{1 \\ 1 \\ 1} $
\gdw \vmat{rx+y+z=1\\x+ry+z=1\\x+y+rz=1}
Als Matrix dann:
$$ \pmat{r&1&1&|&1\\1&r&1&|&1\\1&1&r&|&1} $$
$$ \stackrel{\text{r*Gl.2, r*Gl.3}}{\gdw\pmat{r&1&1&|&1\\r&r^{2}&r&|&r\\r&r&r^{2}&|&r} $$
$$ \stackrel{\text{Gl.2-Gl.3}}{\gdw}\pmat{r&1&1&|&1\\0&r^{2}-1&r-1&|&r-1\\0&r-1&r^{2}-1&|&r-1} $$
$$ \stackrel{\text{bin.Form.}}{\gdw}\pmat{r&1&1&|&1\\0&(r-1)(r+1)&r-1&|&r-1\\0&r-1&(r-1)(r+1)&|&r-1} $$
$$ \stackrel{\text{Passend kürzen}}{\gdw}\pmat{r&1&1&|&1\\0&r+1&1&|&1\\0&1&(r+1)&|&1} $$
Jetzt bist du erstmal wieder dran. Beachte aber die Sonderfälle r=0 und r=1, denn ich habe innerhalb der Umformungen Gleichungen mit r multipliziert bzw. durch (r-1) geteilt.
Marius
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