LGS und Körper < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und A [mm] \in [/mm] Mat(m x n;K) Zeigen Sie :
-Genau dann besitzt das lineare Gleichungssystem (A,b) für jedes b [mm] \in K^m [/mm] mindestens eine Lösung,wenn rangA=m |
Hallo liebes Forum,
Lerne für eine Klausur und kann mir unter dieser Aufgabe leider garnichts vorstellen.
Wenn A und A/b den gleichen Rang haben, dann erzeugen die Spalten von A/b denselben Vektorrraum wie die Spalten von A oder ?
Es gibt doch somit Körperelemente k1,k1,..,kn , sodass s1k1+s2k2+...+snkn=b ist?
Bisher nur Ideen. Ich weis nicht genau wie ich es zeigen soll
lg
Flo
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> Sei K ein Körper und A [mm]\in[/mm] Mat(m x n;K) Zeigen Sie :
> -Genau dann besitzt das lineare Gleichungssystem (A,b)
> für jedes b [mm]\in K^m[/mm] mindestens eine Lösung,wenn rangA=m
>
> Hallo liebes Forum,
> Lerne für eine Klausur und kann mir unter dieser Aufgabe
> leider garnichts vorstellen.
> Wenn A und A/b den gleichen Rang haben, dann erzeugen die
> Spalten von A/b denselben Vektorrraum wie die Spalten von A
> oder ?
Hallo,
ja.
> Es gibt doch somit Körperelemente k1,k1,..,kn , sodass
> s1k1+s2k2+...+snkn=b ist?
Ja.
Überleg Dir vielleicht mal beide Richtungen getrennt:
A. Das lineare Gleichungssystem (A,b) hat für jedes b [mm] $\in K^m$ [/mm] mindestens eine Lösung ==> rangA=m
B. rang A=m ==> Das lineare Gleichungssystem (A,b) hat für jedes b [mm] $\in K^m$ [/mm] mindestens eine Lösung
B. ist einfach, fang damit an.
Wenn der Rang von A nun m ist, wieviel linear unabhängige Spalten enthält A dann? Und weiter?
Bei A kannst Du alternativ zeigen:
rang A<m ==> es gibt ein b, für welches das System keine Lösung hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Coup |
Also ich habs nun mal so versucht.
Wenn A u A,b den gleichen Rang haben, erzeugen die Spalten von A,b den selben Vektorraum wie die von A
=> Also kann Spalte b mittles Linearkombination der Spalten A ausdrücken
Somit gibt es die Körperelemente k1,k2,...,kn sodass s1k1+s2k2+...+snkn=b ist.
wobei s1,s2,...,Zn die Spalten von A sein sollen.
a11k1 + a12k2 + ...+a1nkn =b1
a21k1 + a22k2 + ...+a2nkn=b2
...
am1k1 + am2k2 + ... + amnkn =bm
Somit wäre (k1,k2,...,kn) eine Lösung
Habe ich den richtigen Weg eingeschlagen um es zu beweisen
oder muss ich mit Matrizen arbeiten um es zu zeigen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 So 28.11.2010 | | Autor: | Coup |
würde als Antwort genügen ?
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> Also ich habs nun mal so versucht.
> Wenn A u A,b den gleichen Rang haben, erzeugen die Spalten
> von A,b den selben Vektorraum wie die von A
Hallo,
genau.
Also liegt b in dem Raum, der von den Spalten von A aufgespannt wird.
> => Also kann Spalte b mittles Linearkombination der
> Spalten A ausdrücken
Ja.
> Somit gibt es die Körperelemente k1,k2,...,kn sodass
> s1k1+s2k2+...+snkn=b ist.
> wobei s1,s2,...,Zn die Spalten von A sein sollen.
Somit ist [mm] (k_1,..,k_n) [/mm] eine Lösung des Gleichungssystems.
> Habe ich den richtigen Weg eingeschlagen
Ja.
> um es zu beweisen
> oder muss ich mit Matrizen arbeiten um es zu zeigen ?
Nein. Dein Weg funktioniet ja gut.
Gruß v. Angela
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