LGS und Unterraum < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für t [mm] \in [/mm] IR sei das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{3} [/mm] = 4
[mm] 2x_{1}+ x_{2} +5x_{3} +x_{4} +x_{5}= [/mm] 4
[mm] 3x_{1}+ x_{2} +7x_{3} +x_{4} +x_{5}= [/mm] t+6
[mm] 2x_{1}+ x_{2} +5x_{3} +x_{4} [/mm] = t+4
a) Man ermittle die Menge aller Lösungen des homogenen Systems und im Fall der Lösbarkeit die Mengen aller Lösungen des inhomogenen Systems. Welche Beziehung besteht zwischen beiden Mengen?
b)Man zeige, dass die Menge der Lösungen des homogenen Systems einen Unterraum bildet. Man ermittle eine Basis dieses Unterraums und begründe die Basiseigenschaft. Man ermittle die Dimension dieses Unterraums. |
Hey,
also die Nummer a) ist mir so weit klar. Die Lösung des inhomogenen Systems ist:
x= [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\x_{4} \\x_{5}} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 0 \\ 0\\ 0 \\0} [/mm] + [mm] x_{3}* \pmat{ -2\\ -1 \\ 1 \\0\\ 0} [/mm] + [mm] x_{4}*\pmat{ 0\\ -1\\0\\1\\0 }
[/mm]
Die Lösung des homogenen Systems wäre bei mir dann ja:
x= [mm] x_{3}* \pmat{ -2\\ -1 \\ 1 \\0\\ 0} [/mm] + [mm] x_{4}*\pmat{ 0\\ -1\\0\\1\\0 }
[/mm]
Jetzt meine Frage, ich kenne die Unterraumkriterien, doch irgendwie scheiter ich an der Umsetzung.
DIe Kriterien sind U [mm] \not= \emptyset [/mm] und u1+u2 [mm] \in [/mm] U und [mm] \alpha* [/mm] u [mm] \in [/mm] U.
Ich weiß das es ganz einfach ist und ich es ja nur Umsetzten muss, aber irgendwie bin ich mir unsicher, wegen dem [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{4}.
[/mm]
Wäre nett, wenn mir jemand trotz meiner unpräzisen Frag helfen könnte...
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HallO Stefanie88,
> Für t [mm]\in[/mm] IR sei das folgende lineare Gleichungssystem
> gegeben:
>
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]4x_{3}[/mm] = 4
> [mm]2x_{1}+ x_{2} +5x_{3} +x_{4} +x_{5}=[/mm] 4
> [mm]3x_{1}+ x_{2} +7x_{3} +x_{4} +x_{5}=[/mm] t+6
> [mm]2x_{1}+ x_{2} +5x_{3} +x_{4}[/mm] = t+4
>
> a) Man ermittle die Menge aller Lösungen des homogenen
> Systems und im Fall der Lösbarkeit die Mengen aller
> Lösungen des inhomogenen Systems. Welche Beziehung besteht
> zwischen beiden Mengen?
>
> b)Man zeige, dass die Menge der Lösungen des homogenen
> Systems einen Unterraum bildet. Man ermittle eine Basis
> dieses Unterraums und begründe die Basiseigenschaft. Man
> ermittle die Dimension dieses Unterraums.
> Hey,
> also die Nummer a) ist mir so weit klar. Die Lösung des
> inhomogenen Systems ist:
>
> x= [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\x_{4} \\x_{5}}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0\\ 0 \\0}[/mm]
> + [mm]x_{3}* \pmat{ -2\\ -1 \\ 1 \\0\\ 0}[/mm] + [mm]x_{4}*\pmat{ 0\\ -1\\0\\1\\0 }[/mm]
>
> Die Lösung des homogenen Systems wäre bei mir dann ja:
>
> x= [mm]x_{3}* \pmat{ -2\\ -1 \\ 1 \\0\\ 0}[/mm] + [mm]x_{4}*\pmat{ 0\\ -1\\0\\1\\0 }[/mm]
ok, das habe ich jetzt nicht nachgerechnet, ich vertraue voll und ganz auf deine Rechenkünste 
>
> Jetzt meine Frage, ich kenne die Unterraumkriterien, doch
> irgendwie scheiter ich an der Umsetzung.
> DIe Kriterien sind U [mm]\not= \emptyset[/mm] und u1+u2 [mm]\in[/mm] U und
> [mm]\alpha*[/mm] u [mm]\in[/mm] U. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau, das musst du einfach ausrechnen
> Ich weiß das es ganz einfach ist und ich es ja nur
> Umsetzten muss, aber irgendwie bin ich mir unsicher, wegen
> dem [mm]x_{3}[/mm] und [mm]x_{4}.[/mm]
>
> Wäre nett, wenn mir jemand trotz meiner unpräzisen Frag
> helfen könnte...
Schreibe mal statt [mm] $x_3,x_4$ [/mm] lieber mal $s,t$ mit beliebigen [mm] $s,t\in\IR$, [/mm] dann siehst du besser, dass dies freie Variablen sind
Du hast also berechnet, dass ein Lösungsvektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] des homogenen LGS die Gestalt [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=s\cdot{}\vektor{ -2\\ -1 \\ 1 \\0\\ 0}+t\cdot{}\vektor{ 0\\ -1\\0\\1\\0 }$ [/mm] hat mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Ist der Nullvektor eine Lösung? Gibt es also [mm] $s,t\in\IR$, [/mm] so dass du den Nullvektor als Summe (oder besser als LK) der beiden Lösungsvektoren darstellen kannst ...
Klar, s=t=0
Dann nimm die 2 beliebige Lösungsvektoren [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5},\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4\\y_5}$ [/mm] her
Dann weißt du, dass sie sich darstellen lassen als LK der beiden Lösungsvektoren:
Etwa [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=s_1\cdot{}\vektor{ -2\\ -1 \\ 1 \\0\\ 0}+t_1\cdot{}\vektor{ 0\\ -1\\0\\1\\0 }$ [/mm] und [mm] $\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4\\y_5}=s_2\cdot{}\vektor{ -2\\ -1 \\ 1 \\0\\ 0}+t_2\cdot{}\vektor{ 0\\ -1\\0\\1\\0 }$
[/mm]
Was ist dann [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4\\y_5}$ [/mm] ?
Und ist die Summe ebenfalls Lösung des homogenen LGS? Dh. lässt sich die Summe als LK der beiden Lösungsvektoren schreiben?
Genauso mit der 3.Bedingung
Rechne mal nach ...
LG
schachuzipus
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