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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Do 06.08.2009 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Zu zeigen:
[mm] \pi_{i}(b_{i+1}) [/mm] = [mm] b^{'}_{i+1} [/mm] + [mm] \mu_{i+1,i}b^{'}_{i} [/mm] |
Ich habe versucht die Gleichung mit Gram-Schmidt und der Projektionsoperation zu lösen, aber irgendwie komme ich nicht weiter.
[mm] \pi_{i}(b_{i+1}) [/mm] = [mm] \summe_{j=i}^{n}\bruch{}{}*b^{'}_{j}
[/mm]
= [mm] \summe_{j=i}^{n} \mu_{i+1,j}*b_{j}
[/mm]
= [mm] \mu_{i+1,i}*b_{i} [/mm] + [mm] \summe_{j=i+1}^{n} \mu_{i+1,j}*b_{j}
[/mm]
weiter weiß ich leider nicht :(
Hoffe, mir kann jemand helfen.
Liebe Grüße
Joan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Do 06.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Joan,
> [mm]\pi_{i}(b_{i+1})[/mm] = [mm]b^{'}_{i+1}[/mm] + [mm]\mu_{i+1,i}b^{'}_{i}[/mm]
> Ich habe versucht die Gleichung mit Gram-Schmidt und der
> Projektionsoperation zu lösen, aber irgendwie komme ich
> nicht weiter.
Koenntest du die benoetigten Definitionen und Bedeutungen aufschreiben? Also was die [mm] $b_i$, [/mm] $b'_i$, [mm] $\mu_{ij}$, $\pi_i$ [/mm] sind?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:07 Fr 07.08.2009 | | Autor: | Joan2 |
Also es gilt
Basis B = [mm] (b_{i},b_{j})
[/mm]
b' ist der Gram-Schmidt orthogonalisierte Vektor von b durch
[mm] b^{'}_{i} [/mm] = [mm] b_{i} [/mm] - [mm] \summe_{j=i}^{i-1} \mu_{i,j}*b^{'}_{j}
[/mm]
[mm] \mu_{i,j} [/mm] = [mm] \bruch{}{}
[/mm]
Projektionsoperation [mm] \pi_{i} [/mm] ist definiert als:
[mm] \pi_{i}(x) [/mm] = [mm] \summe_{j=i}^{n}\bruch{}{}
[/mm]
Ich hoffe die sind ausreichend.
Liebe Grüße
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:35 Fr 07.08.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Joan
> [mm]\pi_{i}(b_{i+1})[/mm] = [mm]b^{'}_{i+1}[/mm] + [mm]\mu_{i+1,i}b^{'}_{i}[/mm]
> Ich habe versucht die Gleichung mit Gram-Schmidt und der
> Projektionsoperation zu lösen, aber irgendwie komme ich
> nicht weiter.
Es ist ja [mm] $b_{i+1} [/mm] = [mm] b_{i+1}' [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^i \mu_{i+1,j} b_j'$ [/mm] und damit [mm] $\pi_i(b_{i+1}) [/mm] = [mm] \pi_i(b_{i+1}') [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^i \mu_{i+1,j} \pi_i(b_j')$.
[/mm]
Nun ist [mm] $\pi_i(b_{i+1}') [/mm] = [mm] b_{i+1}'$, $\pi_i(b_i') [/mm] = [mm] b_i'$ [/mm] und [mm] $\pi_i(b_j') [/mm] = 0$ fuer $j < i$; daraus folgt die Behauptung.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 07.08.2009 | | Autor: | Joan2 |
Danke für die Hilfe, aber eines versteh ich noch nicht ganz: warum ist $ [mm] \pi_i(b_j') [/mm] = 0 $.
Liebe Grüße
Joan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Fr 07.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Joan
> Danke für die Hilfe, aber eines versteh ich noch nicht
> ganz: warum ist [mm]\pi_i(b_j') = 0 [/mm].
Setz das doch mal ein. Was ist denn [mm] $\langle b_j', b_k' \rangle$ [/mm] mit $j < i [mm] \le [/mm] k$?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Fr 07.08.2009 | | Autor: | Joan2 |
Achso, klar :)
Vielen, vielen Danke :)
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