LM integrierbar / Erklärung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 So 21.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Definition:
f heißt LM-integrierbar, wenn es eine monoton wachsende Folge [mm] (f_k) [/mm] von Treppenfunktionen gibt, sodass die Integralfolge [mm] (\integral f_k d\lambda ) [/mm] beschränkt ist und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} f_k(x)=f(x) [/mm] f.ü. ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe große Probleme mit LM-integrierbar und deshalb auch mit Lebesgue-integrierbar und dem Satz von Levi. Kann mir bitte jemand anhand eines anschaulichen Beispiels erklären, was mit der "beschränkten Integralfolge der monoton wachsenden Folge [mm] (f_k)" [/mm] gemeint ist ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Mo 22.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Definition:
> f heißt LM-integrierbar, wenn es eine monoton wachsende
> Folge [mm](f_k)[/mm] von Treppenfunktionen gibt, sodass die
> Integralfolge [mm](\integral f_k d\lambda )[/mm] beschränkt ist und
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} f_k(x)=f(x)[/mm] f.ü. ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe große Probleme mit LM-integrierbar und deshalb
> auch mit Lebesgue-integrierbar und dem Satz von Levi. Kann
> mir bitte jemand anhand eines anschaulichen Beispiels
> erklären, was mit der "beschränkten Integralfolge der
> monoton wachsenden Folge [mm](f_k)"[/mm] gemeint ist ?
Die Idee des Lebesgue-Integrals ist, nicht den Definitionsbereich einer Funktion zu unterteilen, sondern den Wertebereich (schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier!)
Daher wird die Funktion f durch Treppenfunktionen approximiert. Die einzelnen [mm] $f_k$ [/mm] sollen mit wachsendem k die Funktion f immer besser approximieren, sodass [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} f_k(x)=f(x)[/mm] f.ü. gilt.
Da die [mm] $f_k$ [/mm] Treppenfunktionen sind und damit nur endlich viele Werte annehmen können, existieren für alle k die Integrale [mm] I_k := \integral f_k d\lambda [/mm] und bilden eine Folge [mm] $(I_k)$ [/mm] reeller Zahlen. Da die Folge [mm] $(f_k)$ [/mm] punktweise monoton anwächst, muss auch [mm] $(I_k)$ [/mm] monoton wachsend sein. Ist diese Folge beschränkt, so ist sie natürlich konvergent.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mo 22.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
wieder einmal vielen Dank für Deine Hilfe und den tollen Link !
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann bedeutet das:
Dadurch, dass der Funktionswert pro [mm] f_k [/mm] bei festem x immer grösser wird, wird auch das Integral (nach oben, nicht von den Intervallgrenzen her) immer grösser und damit ist auch die Integralfolge von [mm] f_k [/mm] monoton steigend.
Stimmt das so ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mo 22.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Hallo Rainer,
> wieder einmal vielen Dank für Deine Hilfe und den tollen
> Link !
>
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann bedeutet
> das:
> Dadurch, dass der Funktionswert pro [mm]f_k[/mm] bei festem x immer
> grösser wird, wird auch das Integral (nach oben, nicht von
> den Intervallgrenzen her) immer grösser und damit ist auch
> die Integralfolge von [mm]f_k[/mm] monoton steigend.
>
> Stimmt das so ?
Ja, genau.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:06 Di 23.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Vielen, vielen Dank !
LG, Susanne.
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