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LR-Zerlegung: Wo ist der Fehler?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Mo 12.05.2008
Autor: barsch

Aufgabe
Bestimme Matrizen L und R so, dass [mm] L\cdot{}R=P*A, [/mm] wobei P Permutationsmatrix. (mit Spaltenpivotisierung!)

[mm] A=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ -2 & 2,1 & -1,1 & 1,7 \\ 1 & 1,5 & -3 & 0,5 \\ -2 & 3 & 1 & 5,5} [/mm]

Hi,

[help] wo ist mein Fehler?

Jetzt wird's lang - ich hoffe trotzdem, dass jmd. die Geduld hat, nach Fehlern zu suchen. Oder ein entsprechendes Programm, das die Zerlegung ausgibt.

[mm] A=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ -2 & 2,1 & -1,1 & 1,7 \\ 1 & 1,5 & -3 & 0,5 \\ -2 & 3 & 1 & 5,5} [/mm]

1. Schritt:

[mm] P_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}, L_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1}, R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & -0,9 & -1,1 & 0,7 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4,5} [/mm]


2. Schritt

Jetzt muss ich die 2. und die 3. Zeile vertauschen, da |3|>|-0.9|:

[mm] R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & -0,9 & -1,1 & 0,7 \\ 0 & 0 & 1 & 4,5} [/mm]

Dann ergibt sich für [mm] P_2 [/mm] Permutationsmatrix: [mm] P_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}, [/mm]


[mm] L_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] Für das "aktualisierte" R ergibt sich: [mm] R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4,5} [/mm]

3. Schritt:

[mm] P_3=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}, L_3=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\bruch{1}{2} & 1}, R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5} [/mm]

Jetzt müsste - wenn alles richtig berechnet wurde - gelten:

[mm] R=L_3*P_3*L_2*P_2*L_1*P_1*A, [/mm] da [mm] P_1=P_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}, [/mm] also

[mm] R=L_3*L_2*P_2*L_1*A, [/mm] aber das haut nicht hin:

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\bruch{1}{2} & 1}*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}*P_2*L_1*A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0,15 & -\bruch{1}{2} & 1}*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}*L_1*A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -0,3 & 0 \\ 0 & -\bruch{1}{2} & 0,15 & 1}*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1}*A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1,15 & 1 & -0,3 & 0 \\ 0,425 & -\bruch{1}{2} & 0,15 & 1}*A [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1,15 & 1 & -0,3 & 0 \\ 0,425 & -\bruch{1}{2} & 0,15 & 1}*A=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ?} [/mm]

Ich brauche gar nicht weiter rechnen, weil R obere Dreiecksmatrix ist. Und [mm] a_{21}=2 [/mm] ist ja schon verkehrt. Was ist falsch? Ich bin echt am Verzweifeln!


[scheisskram] I need somebody help!

MfG barsch

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
LR-Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:19 Mo 12.05.2008
Autor: Vreni

Hallo barsch,

ich denke dein Problem ist, dass du deine Matrizen [mm] L_{i}, [/mm] so wie du sie verwendest, falsch aufstellst. Du willst sowas machen wie [mm] R=L_{3}*P_{3}* L_{2}* P_{2}*L_{1}*P_{1}*A [/mm]
Die L-Matrizen, die du aufgestellt hast, haben aber unterhalb der Diagonalen genau die falschen Vorzeichen (Rechne z.B. mal dein [mm] L_{1}*A, [/mm] da kommt sicher nicht  dein R aus diesem Schritt raus.

Ich gebe dir mal die richtigen Matrizen (für P*A=L*R):

P hattest du schon richtig: [mm] P=P_{2}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

R hattest du auch schon, [mm] R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5} [/mm]

$ [mm] L=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -0,3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 1} [/mm] $

Gruß,
Vreni

Bezug
                
Bezug
LR-Zerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Mo 12.05.2008
Autor: barsch

Hi,

vielen, vielen Dank.

Jedoch habe ich da noch ein Problem:


> Ich gebe dir mal die richtigen Matrizen (für P*A=L*R):
>  
> P hattest du schon richtig: [mm]P=P_{2}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>  
> R hattest du auch schon, [mm]R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5}[/mm]
>  
> [mm]L=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -0,3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 1}[/mm]

Ich komme nicht auf das L. Mein L sieht so aus:

[mm] L=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0,3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1} [/mm]

Bei mir fehlen die Vorzeichen in der 2. und 3. Spalte. Kannst du mir die Formel für L mal geben?

Meines Wissens lautet die doch für diesen Fall:

[mm] L=L_3^{-1}*L_2^{-1}*P_2*L_1^{-1}*P_2^{-1} [/mm] und für [mm] L_2 [/mm] habe ich raus:

[mm] L_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] und das heißt ja:

[mm] L_2^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

dadurch geht mir das Vorzeichen verloren. Genauso bei [mm] L_3. [/mm]

>  
> Gruß,
>  Vreni

Ich scheine demnach immer noch was falsch zu machen [nixweiss]

Danke soweit.

MfG barsch

Bezug
                        
Bezug
LR-Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Mo 12.05.2008
Autor: Vreni

also, fangen wir von vorne an:

Wir haben A gegeben.
[mm] L_1*P_1 *A=R_1, [/mm]

wobei [mm] R_1 [/mm] in der 1.Spalte unter der Diagonalen nur Nuller hat.

Weiter mit [mm] L_2*P_2*R_1=R_2 [/mm]
[mm] L_3*P_3*R_2=R_3 [/mm]

Die Matrix [mm] L_{i} [/mm] kommt so zustande:
Auf der Diagonalen Einser
In allen Spalten bis auf Spalte i Nuller
In der i-ten Spalte unterhalb der Diagonalen: [mm] l_{j,i}=\red{-} \blue{\frac{a_{j,i}}{a_{i,i}}} [/mm]
[mm] \blue{(verbessert, \; war \; vorher \; falsch)} [/mm]
wobei die Einträge a sich auf die die aktuelle, schon mit [mm] P_{i} [/mm] permutierte Matrix [mm] R_{i-1} [/mm] bilden.


Für P*A=LR ist dann

[mm] R=R_3 [/mm]
[mm] P^{-1}*L=L_3^{-1}*P_3^{-1}*L_2^{-1}*P_2^{-1}*L_1^{-1}*P_1^{-1} [/mm]

In deinem Fall also:
[mm] A=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ -2 & 2,1 & -1,1 & 1,7 \\ 1 & 1,5 & -3 & 0,5 \\ -2 & 3 & 1 & 5,5} [/mm]

[mm] P_1=id [/mm]
[mm] L_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \red{-}1 & 1 & 0 & 0 \\ \red{+}\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ \red{-}1 & 0 & 0 & 1} [/mm]
Hier sind die Vorzeichen sehr wichtig, da nur so wirklich bei [mm] L_1*A [/mm] die Einträge in der 1.Spalte eliminiert werden.

[mm] \Rightarrow R_1=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & -0,9 & -1,1 & 0,7 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4,5} [/mm]

nächster Schritt:
[mm] P_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]
[mm] L_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \red{+}0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

Auch hier wieder die Vorzeichen so rum, da sonst die Einträhge in der zweiten Spalte nicht wegkommen.
Rechne einfach mal mit deinem [mm] L_2 [/mm] aus, was [mm] L_2*P_2*R_1 [/mm] ist, dann siehst du, das die Vorzeichen nicht stimmen können.
[mm] \Rightarrow R_2=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4,5} [/mm]

[mm] P_3=id [/mm]
[mm] L_3=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \red{+}\frac{1}{2} & 1} [/mm]

[mm] \Rightarrow R_2=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5} [/mm]

Ich bin jetzt dann erstmal mindestens zwei Stunden weg, aber ich hoffe, ich konnte dir soweit weiterhelfen.

Gruß,
Vreni

Bezug
                                
Bezug
LR-Zerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:08 Mo 12.05.2008
Autor: barsch

Hi,

vielen Dank für die ausführliche Erklärung und deine Geduld.

Auch wenn ich es im Zuge dieser Aufgabe schon oft genug gemacht habe, muss ich wohl noch einmal mein Skript zu diesem Thema durcharbeiten. Wir haben nämlich gesagt, dass

[mm] l_{j,i}=\frac{a_{j,i}}{a_{i,i}} [/mm] also ohne Vorzeichen & [mm] a_{j,i} [/mm] und [mm] a_{ii} [/mm] vertauscht.

Merkwürdig. [kopfkratz]

Aber ich mache es jetzt auf deine Weise. DANKE! :-)


MfG barsch

Bezug
                                        
Bezug
LR-Zerlegung: Korrektur der letzten Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:16 Mo 12.05.2008
Autor: Vreni

Hallo,

es tut mir Leid, ich habs vorhin aus Versehen vertauscht, es heißt natürlich [mm] l_{j,i}=-\frac{a_{j,i}}{a_{i,i}}, [/mm] also bis aufs Vorzeichen das, was du auch hattest. Ich werde es gleich in der Antwort auch noch korrigieren.

Ich kann mir schon vorstellen, dass ihr beim Programmieren des Algorithmus [mm] l_{j,i} [/mm] ohne das Minus berechnet, das sind nämlich genau die Einträge, die später in L stehen. Aber so wie du deine [mm] L_{i} [/mm] gebildet hast, gehört es eben mit anderem Vorzeichen.

Du musst dir nur vor Augen führen,, was du mit der Multiplikation von [mm] L_{i} [/mm] von links an  die Matrix machst:
du addierst das  [mm] l_{j,i}-fache [/mm] der i-ten Zeile zur j-ten Zeile, machst also eine elementare Zeilenumformung.
Und deren Ziel ist es, auf der Stelle (j,i) eine Null zu erzeugen. Und deswegen musst du  [mm] l_{j,i}=-\frac{a_{j,i}}{a_{i,i}} [/mm] wählen, damit [mm] a_{j,i}+l_{j,i}*a_{i,i}=0 [/mm] ist.

Gruß,
Vreni

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