LR-Zerlegung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 So 23.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 }
[/mm]
a) Bestimme die LR-Zerlegung mit Hilfe der Spaltenpivotisierung
b) Bestimme die LR-Zerlung ohne Pivotisierung |
Ich habe die Aufgaben so gelöst:
a)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 } \gdw \pmat{ 2 & 4 &-1\\ 1 & 2 & -1\\1&3&1 } [/mm]
2.Zeile und 3.Zeile jeweils [mm] -\bruch{1}{2}* [/mm] 1.Zeile
[mm] \gdw \pmat{ 2 & 4 &-1 \\ 0 &0 & -\bruch{1}{2}\\0&1&\bruch{3}{2}}
[/mm]
Zeilenvertauschung: 2.Z mit 3.Z
[mm] \Rightarrow \pmat{ 2 & 4 &-1\\ 0 & 1 & \bruch{3}{2}\\0&0&-\bruch{1}{2}} [/mm] = R
[mm] \Rightarrow [/mm] L= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2}& 1 &0\\ -\bruch{1}{2} & 0 &1 }
[/mm]
b)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 } [/mm]
2.Z - 2*1.Z und 3.Z - 1*1.Z
[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 &1\\0&1&2 } [/mm]
Zeilenvertauschung: 2.Z mit 3.Z
[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 &2\\0&0&1 } [/mm] = R
[mm] \Rightarrow [/mm] L = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 &0\\ 1& 0 &1 }
[/mm]
Eigentlich müssten die LR-Zerlegung gleich sein, oder?? Ich weiß nicht wo ich falsch gedacht habe.
Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar
Liebe Grüße
Joan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 So 23.11.2008 | | Autor: | zetamy |
> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 }[/mm]
>
> a) Bestimme die LR-Zerlegung mit Hilfe der
> Spaltenpivotisierung
> b) Bestimme die LR-Zerlung ohne Pivotisierung
> Ich habe die Aufgaben so gelöst:
>
> a)
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 } \gdw \pmat{ 2 & 4 &-1\\ 1 & 2 & -1\\1&3&1 }[/mm]
>
> 2.Zeile und 3.Zeile jeweils [mm]-\bruch{1}{2}*[/mm] 1.Zeile
>
> [mm]\gdw \pmat{ 2 & 4 &-1 \\ 0 &0 & -\bruch{1}{2}\\0&1&\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Zeilenvertauschung: 2.Z mit 3.Z
>
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 2 & 4 &-1\\ 0 & 1 & \bruch{3}{2}\\0&0&-\bruch{1}{2}}[/mm]
> = R
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] L= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2}& 1 &0\\ -\bruch{1}{2} & 0 &1 }[/mm]
Wenn du pivotisierst, musst du auch die Pivotmatrix mitführen! Am Anfang hast du die Zeilen in der Reihenfolge [mm] $\vektor{1 \\ 2 \\ 3}$. [/mm] Durch deine zweimalige Zeilenvertauschung erhälst du die Reihenfolge [mm] $\vektor{2 \\ 3 \\ 1}$. [/mm] Folglich sieht deine Pivotmatrix so aus:
[mm] $\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0}$. [/mm] Wenn du jetzt die von dir ausgerechneten Matrixen L und R multiplizierst erhälst du die pivotisierte Matrix [mm] $P\cdot [/mm] A$, also $ [mm] L\cdot [/mm] R = [mm] P\cdot [/mm] A$.
ABER: In der Aufgabe stand Spaltenpivotisierung, du hast Zeilen pivotisiert!
> b)
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 }[/mm]
>
> 2.Z - 2*1.Z und 3.Z - 1*1.Z
>
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 &1\\0&1&2 }[/mm]
>
> Zeilenvertauschung: 2.Z mit 3.Z
Du sollst hier eine Lösung ohne Pivotisierung angeben! Also keine Zeilen/Spaltenvertauschung.
>
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 &2\\0&0&1 }[/mm] = R
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] L = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 &0\\ 1& 0 &1 }[/mm]
>
>
> Eigentlich müssten die LR-Zerlegung gleich sein, oder?? Ich
> weiß nicht wo ich falsch gedacht habe.
>
>
> Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar
>
>
> Liebe Grüße
> Joan
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 23.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Danke erstmalfür die Hilfe.
Aber es müssen bei a) und b) letztendlich dieselben LR- Matrizen herauskommen, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 So 23.11.2008 | | Autor: | zetamy |
Bei Teil b) ist deine L Matrix falsch. Korrekt lautet sie [mm] $\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1}$.
[/mm]
> Danke erstmalfür die Hilfe.
> Aber es müssen bei a) und b) letztendlich dieselben LR-
> Matrizen herauskommen, oder?
Nein, da du in Teil bei eine andere Pivotisierung gewählt hast, ist die Pivotmatrix von der in a) verschieden, also sind auch L und R von denen in a) verschieden.
Die Pivotmatrix in b) ist: [mm] $\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:44 So 23.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Ich dachte die L-Matrix erhält man durch:
[mm] l_{i,j} [/mm] = [mm] \bruch{a^{{j}}_{i,j}}{a^{{j}}_{j,j}}
[/mm]
Das habe ich nämlich bei b) angewendet und erhalten
[mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 2 & 1&0\\1&0&1 }
[/mm]
Ist die Formel falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Di 25.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
