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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Mi 05.08.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Führen Sie für die 2x2-Matrix [mm] A=\begin{pmatrix}
5 & 1 \\
5 & 3
\end{pmatrix}
[/mm]
A per Hand drei Schritte des LR-Algorithmus durch
und vergleichen Sie das Ergebnis mit den exakten Eigenwerten. |
Hallo. ich wollte eignetlich nur wissen, mit was für einem Algorithmus ich das machen soll? Ich kenne das nämlich nur so, dass ich die Matrix in A=L*R zerlege und fertig. Da gibt es nicht mehrere Schritte, sondern nur einen.
Ich schreibe mal das auf was ich in der Vorlesung mitgeschrieben habe.
Das LR-Verfahren
Idee:
Konstruktion einer Folge von Matrizen
[mm] A_{1}=A, A_{i+1}=T_{i}^{-1}AT_{i}, [/mm] i=1,2,3,...
Iterationsfolge beim LR-Verafhren
Start: Setze [mm] A_{1}=A, A_{1}=L_{1}R_{1}
[/mm]
Iteration: [mm] i=1,2,3,...:A_{i+1}=R_{i}L_{i}
[/mm]
Berechne: [mm] A_{i+1}=L_{i+1}R_{i+1}
[/mm]
Vielleicht weiß ja einer von euch was.
Danke schonmal
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mi 05.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Die LR-Zerlegung ist nichts anderes als Gauß-Elimination, nur man schreibt zusätzlich mit, wo man welchen faktor zur elimination verwendet hat. Die Berechnung im Beweis mit den vielen indizierten L-Matrizen ist für die praxis eher ungeeignet, sondern vom theoretischen interesse. Das lässt sich im PC und auf Papier wesentlich hübscher implementieren/hinschreiben, und ist leichter zu merken, als dieser Beweis.
Was die Aufgabenstellung angeht, da glaube ich, dass die sich verschrieben haben, das was da steht würde wesentlich mehr Sinn machen, wenn da "QR-Algorithmus" stehen würde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 05.08.2009 | | Autor: | tynia |
Nein, das soll wirklich mit dem LR Algorithmus gemacht werden. Du weißt also auch nicht weiter
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habe die andere Antwort geschrieben bevor du diese neue Frage gestellt hast...
mein anderer Beitrag sollte dich aber erleuchten, deswegen poste ich hier mal um die Frage als grün zu markieren ;D
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Zeig mir mal wie du aus einer Matrix A in EINEM Schritt zwei Matrizen L und R machst... ;D
Der Algorithmus definiert die Einzelschritte die du ausführst!!!
Bis aus A eine LR Matrix geworden ist, machst du viele Einzelschritte, genauer gesagt 1/3 n³ Operationen bei einer nxn matrix.
Du schaust dir nämlich zuerst das erste Pivot Element an...guckst ob es = 0 ist oder nicht, wenn nicht, dann guckst du welches Vielfaches einer anderen Zeile du von dieser Zeile abziehen musst damit das Pivot Element 0 wird usw Gauß halt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mi 05.08.2009 | | Autor: | tynia |
Ich schreibe mal auf, was ich dazu habe.
A= [mm] \begin{pmatrix}5 & 1 \\5 & 3\end{pmatrix} [/mm] (II+(-1)I.Zeile [mm] \Rightarrow \begin{pmatrix}5 & 1 \\0 & 2\end{pmatrix}=R
[/mm]
Alternative:
F*A=R [mm] \begin{pmatrix}1 & 0 \\-1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & 1 \\5 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 1 \\0 & 2\end{pmatrix}
[/mm]
Der Eintrag-1 von F ist genau das Skalar der elementaren Zeilenumformung von oben.
Es gilt also FA=R
Die matrix F heißt Frobenius-Matrix. Wegen det(F)=1 ist F invertierbar, und daher folgt:
[mm] F^{-1}FA [/mm] = [mm] F^{-1}R [/mm] (das [mm] F^{-1} [/mm] vor dem R ist also mein L)
[mm] F^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & 1\end{pmatrix}=L
[/mm]
[mm] \Rightarrow A=LR=\begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & 1 \\0 & 2\end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt habe ich mit einer Freundin telefoniert und die sagt, ich müsste das so aufschreiben:
[mm] A=RL=\begin{pmatrix}5 & 1 \\0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 1 \\1 & 2\end{pmatrix}=A_{1}
[/mm]
und dann das gleiche mit dieser neuen Matrix [mm] A_{1} [/mm] machen.
Kann das sein? Der Algorithmus heißt doch "LR-Algorithmus" und nicht RL-Algorithmus.
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Hallo
> Jetzt habe ich mit einer Freundin telefoniert und die sagt,
> ich müsste das so aufschreiben:
>
> [mm]A=RL=\begin{pmatrix}5 & 1 \\0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 1 \\1 & 2\end{pmatrix}=A_{1}[/mm]
>
> und dann das gleiche mit dieser neuen Matrix [mm]A_{1}[/mm] machen.
>
> Kann das sein? Der Algorithmus heißt doch "LR-Algorithmus"
> und nicht RL-Algorithmus.
>
Das hat dir ja hier schon jemand vorgeschlagen...
Du zerlegst ja deine Matrix in eine L und eine R Matrix. Nur weil du schliesslich deine nächste Matrix mit R*L berechnest heisst das nicht, dass der Algorithmus RL-Algorithmus heissen müsste. Ich meine, wenn du deine neue Matrix mit L*R berechnen würdest, würdest du wieder die ursprüngliche Matrix erhalten.
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mi 05.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Der Algorithmus heißt doch "LR-Algorithmus" und nicht RL-Algorithmus.
Hehe, schade eigentlich, "RL-Algorithmus" wäre eigentlich auch treffend gewesen, und würde Verwechslungen mit der einfachen LR-Zerlegung vermeiden :) Sorry, habe deine Frage zuerst auch zu unaufmerksam gelesen.
ps:
hab's eben mal nachgerechnet: nicht wundern, wenn da nach dem zweiten schritt hässliche Zahlen rauskommen, da stehen am ende lauter 19'er in den Nennern...
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Muss noch etwas beifügen.
Ich bin bei meinen vorherigen Antworten von dem Algorithmus für eine LR-ZERLEGUNG ausgegangen.
Ich meine das kann man durchaus unter "LR-Algorithmus" verstehen.
Da du aber noch etwas über Iteration gepostet hast, scheint in dem Kontext ein anderer "LR-Algorithmus" gemeint zu sein, was ich übrigens schwammig formuliert finde.
Die Aufgabe sieht mehr danach aus, also solltest du eine Iteration durchführen. Wie das geht hast du eigentlich schon selbst gepostet.
Schritt1: zerlege A in LR, berechne B=RL
Schritt2: zerlege B in LR, berechne C=RL
Schritt3: zerlege C in LR, berechne D=RL
.
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usw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 05.08.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. Also ist das so richtig wie ich das in meinem letzten Beitrag gepostet habe? Kannst du vlt mal gucken?
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Hallo
> Hallo. Also ist das so richtig wie ich das in meinem
> letzten Beitrag gepostet habe? Kannst du vlt mal gucken?
Ja, so sollte es richtig sein.
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Mi 05.08.2009 | | Autor: | tynia |
OK. Danke an alle Beteiligten 
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