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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:52 So 28.05.2006 | | Autor: | ERRORrothe |
Hallo,
bin neu hier und hab mir schon sehr viele Posts angesehen aber so richtig helfen sie mir nicht. Ich hab das Problem das ich nicht wirklich verstehe wie ich auf eine LR-Zerlegung komme. Hab hier oft gelesen das das über das Gaußverfahren geht- bisher hab ich das mehr oder weniger durch scharfes hinsehen gemacht und durch ein bisschen rechnerei. Ich habe mir mein NuMascript jetzt auch schon 100 mal durchgelesen aber so wirklich hilft mir das nicht. Am besten waere wenn ich irgendwo mal ein ausführliches beispiel finden könnte - also wirklich ausführlich! Bin da leider nicht so ne Leuchte :)
Bsp:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -3 & -1 & 1 } [/mm] =A
da waere die erste Spalte aus der Matrix A doch gleichzeitig die erste Spalte aus der L-Matrix oder? Genauso die erste Zeile aus A ist die erste Zeile aus R. Hinzu kommt noch das die Diagonale aus L ausschließlich aus 1 bestehen sollte? Alles was Über der Diagonalen in der L-Matrix liegt sind doch Nullen? In der R-Matrix stehen unterhgalb der Diagonalen (keine 1!) auch überall Nullen. Ist das soweit korrekt?
da würde ich nämlich auf sowas kommen:
L= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & ? & 1}
[/mm]
R= [mm] \pmat{ 1 & 3 & -2 \\ 0 & ? & ? \\ 0 & 0 & ?}
[/mm]
die ? kann man dann ja einfach berechnen über a(i,j) = i-te Zeile von L mal j-te Spalte von R. (A=L*R)
also a(22) = 2 = 2*3 + 1*x(R22) + 1*0 --> x(R22) = -4 [x(R22) = Fehlendes Element in der R-Matrix mit i=j=2]
Am Ende komm ich dann auf: A=L*R= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 1} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 3 & -2 \\ 0 & -4 & 5 \\ 0 & 0 & 5}
[/mm]
Ist das so korrekt? Geht es einfacher bzw leichter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Wenn du schon so viele Posts gelesen hast, hast du wahrscheinlich unsere Suchfunktion oben rechts benutzt? Hast du denn auch diesen Post hier gelesen? Das müsste doch eigentlich eigentlich helfen, denn es ist meiner Meinung nach seeehr ausführlich.
Aber falls nicht, melde dich (aber erst, nachdem du den obigen Artikel guuut gelesen hast  ), dann ekläre ich es ggf. noch einmal so ausführlich, oder auch vielleicht jemand anders.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Danke für den Link. Den Post hab ich nicht gesehen- naja jetz bin ich etwas schlauer, danke nochmal :)
Wo Wir grad dabei sind. Wenn ich eine Matrix habe mit einem unbekannten parameter - sagen wir diese hier bspweise:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & 8 & 6 & -3 \\ 3 & 6 & 6 & -6 \\ -1 & -3 & -6 & c }
[/mm]
Darf dann c bestimmte Werte nicht annehmen, damit ich sie in eine L und eine R/U - Matrix zerlegen kann oder ist es egal welchen Wert c da hat?
Danke schonmal im vorraus...
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Also ich denke das ist dann wirklich egal, denn in L wird c ja dann sowieso zu 1 und bei L/U wird c ja dann so angepasst, dass es zu der restlichen zerlegung passt.
Hoffe konnte dir damit weiterhelfen.
LG
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Hallo!
Schön, dass dir mein Link geholfen hat.
> Wo Wir grad dabei sind. Wenn ich eine Matrix habe mit einem
> unbekannten parameter - sagen wir diese hier bspweise:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & 8 & 6 & -3 \\ 3 & 6 & 6 & -6 \\ -1 & -3 & -6 & c }[/mm]
>
> Darf dann c bestimmte Werte nicht annehmen, damit ich sie
> in eine L und eine R/U - Matrix zerlegen kann oder ist es
> egal welchen Wert c da hat?
Zitat von Wikipedia: "Diese Zerlegung existiert aber nicht für alle Matrizen, sondern nur für Matrizen bei denen alle Untermatrizen regulär sind."
Ich bin mir jetzt allerdings nicht so ganz sicher, ob das c in dem Fall etwas mit Untermatrizen zu tun hat.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Mo 29.05.2006 | | Autor: | mathwoman |
aber regular heißt doch nur, dass es ein Inverses geben muss.
[mm] \Rightarrow [/mm] das die LU- Zerlegung eindeutig ist!!
Und dann kommt genau das, was ich eben schon geschrieben hab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> aber regular heißt doch nur, dass es ein Inverses geben
> muss.
Aber da steht nicht, dass die Matrix regulär sein muss, sondern dass alle Untermatrizen regulär sein müssen. Und jetzt sag mir mal, was eine Untermatrix ist!?
Aber wenn es nur für reguläre Matrizen eine LR-Zerlegung gibt, dann ist es ganz und gar nicht egal, welchen Wert das c annimmt!??? Bin mir da halt nur gerade nicht sicher, denn es gibt auf keinen Fall für alle regulären Matrizen eine LR-Zerlegung. Einfachstes Gegenbeispiel ist [mm] \pmat{0&1\\1&0}. (\not\exists [/mm] LR-Zerlegung ohne Pivotsuche)
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Fr 16.06.2006 | | Autor: | viktory_hh |
also obere Untermatrizen sind:
[mm] a_{1,1} [/mm] dann
[mm] \pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} } [/mm] usw.
Damit eine eindeutige LR-Zerlegung existiert müssen alle oberen Untermatrizen regulär sein. Mit Pivotsuche geht alles, sogar nicht reguläre
Matrizen. Aber dann ist die R Matrix auch nicht mehr regulär und hat unten entsprechend Nullen, bzw. R ist ist dann eine obere Trapezmatrix. (hoffentlich noch richtig im Kopf gehabt).
Satz: für jede reguläre Matrix kann eine Permutationsmatrix P angegeben werden so dass: P*A = L*R gilt. (das weiß ich nun genau)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:30 Fr 16.06.2006 | | Autor: | spet |
Hallo,
ich weiß, wie ich die Zerlegung A=LR bestimme, aber wozu muss ich denn P bestimmen? Die Diagonalelemente [mm] l_{i,i}, [/mm] wobei [mm] abs(l_{i,i})<1, [/mm] der Matrix L haben dann doch schon den als Betrag 1.
LG, spet
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Hallo!
> ich weiß, wie ich die Zerlegung A=LR bestimme, aber wozu
> muss ich denn P bestimmen? Die Diagonalelemente [mm]l_{i,i},[/mm]
> wobei [mm]abs(l_{i,i})<1,[/mm] der Matrix L haben dann doch schon
> den als Betrag 1.
Naja, also mit dem P gibst du glaube ich die LR-Zerlegung einfach nur anders an. Du kannst sie ja durch Zeilenumformungen berechnen, du kannst sie aber auch durch Multiplikation mit diesen Permutationsmatrizen beschreiben. Eine solche Multiplikation ist dann quasi eine Zeilenumformung. Und das gesamte P ist dann das Produkt dieser Umformungen.
Habe ich dein Problem richtig verstanden? Oder was genau möchtest du wissen?
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Sa 17.06.2006 | | Autor: | spet |
Hallo Bastiane,
also wenn ich jetzt zu einem LGS Ax=b die Zerlegung PA=LR bestimmen soll(mit Pivotisierung), heißt das dann, dass ich zunächst Zeilen vertausche, also PA rechne und dann zu dieser bereits veränderten Matrix einfach die "normale" LR-Zerlegung anwende? Ich kannte die LR-Zerlegung bisher nur ohne Pivotisierung bzw. ohne das P.
Liebe Grüße,
spet
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Also, die MAtrix P ist die Permutationsmatrix. Sie entspricht in allem und ganzen der Pivotisierung. Also wenn Du Lr Zerlegung machst mit Pivotisierung mußt Du Dir die Zeilvertauschungen merken, und das wird am Ende dieser Matrix P entsprechen. Den die rechte Seite b, mußt Du denselben Vertauschungen unterziehen. Die Matrix P habe ich oben nur zu theoretischen Zwecken geschrieben. Der Satz von oben soll einfach besagen, dass es mit Pivotsuche immerm öglich ist eine LR-Zerlegung anzugeben.
bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Sa 17.06.2006 | | Autor: | spet |
Okay, werds mal versuchen. Danke.
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