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| Aufgabe | Zu losen sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit
A = |R* |v |
|- - - -|
| [mm] u^{T} [/mm] | 0|
R* eine invertierbare obere Dreiecksmatrix ist, u,v [mm] \varepsilon \IR^{n-1}
[/mm]
Geben Sie die LR-Zerlegung von A an |
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Hallo zusammen. Ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter. Da man die LR Zerlegung angeben soll und bei einer späteren Aufgabe damit auch noch etwas zeigen soll, bin ich mir sicher das man die LR Zerlegung mit einem relativ einfachen Ausdruck beschrieben kann, also entweder mit einem Kniff oder mit der normalen Zerlegung bei der sich dann aber viel rauskürzt.
Da ich auf keinen Kniff gekommen bin hab ich das mal mit der normalen Technik angegangen, also L1 bestimmt:
[mm] \pmat{ 1 & & & &\\ l_{21} & 1 & & & \\ .. & & 1 & & \\ ..& & & 1 & \\ l_{n1} & & & & 1}
[/mm]
mit [mm] l_{x1} [/mm] = 0 für x [mm] \not= [/mm] n und [mm] l_{n1} [/mm] = [mm] \bruch{u_{1}}{a_{11}}
[/mm]
und somit auf ein R1 das gleich A ist, bis auf die letzte Zeile (ich nenne sie [mm] u^{(2)}), [/mm] wo [mm] u^{(2)}_{1} [/mm] = 0 und [mm] u^{(2)}_{x} [/mm] = [mm] u_{x} [/mm] - [mm] \bruch{u_{1}}{a_{11}} [/mm] * [mm] a_{1x}
[/mm]
Leider finde ich nicht zum kürzen oder sonstwie verkleinern, was dazu führt das ich bei [mm] R_{2} [/mm] als [mm] u^{(3)} [/mm] dortstehen hab:
[mm] u_{x}^{(3)} [/mm] = [mm] u_{x}^{(2)} [/mm] - [mm] \bruch{u_{2}^{(2)}}{a_{22}} [/mm] * [mm] a_{2x} [/mm] = [mm] (u_{x} [/mm] - [mm] \bruch{u_{1}}{a_{11}} [/mm] * [mm] a_{1x}) [/mm] - [mm] \bruch{u_{2} - \bruch{u_{1}}{a_{11}} * a_{12}}{a_{22}} [/mm] * [mm] a_{2x}
[/mm]
Von einer generellen Aussage für [mm] u^{(n)} [/mm] bin ich also weit entfernt, aber genau das bräuchte ich doch wenn ich die LR Zerlegung für so einen allgemeinen Fall angeben soll.
Wäre für jede Hilfe dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 23.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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