LR Zerlegung mit Pivotierung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie eine LR-Zerlegung mit Spaltenpivotierung der Matrix
[mm] $A=\pmat{ 2 & 1 & 2 & 4\\ -1 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 10 & -1 \\ 0 & 1 & 3 &1}$
[/mm]
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Hallo, ich brauch mal wieder eure Hilfe. Ich komme einfach nicht auf die Spaltenpivotierung klar, also ich mache folgendes:
1. Schritt: Da das betragsmäßig größte Element oben steht, ganz normales Gauß-Verfahren
[mm] $\pmat{ 2 & 1 & 2 & 4\\ 0 & \bruch{1}{2} & 4 & 1 \\ 0 & \bruch{3}{2} & 9 & -3 \\ 0 & 1 & 3 &1}$
[/mm]
mit [mm] $L_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ \bruch{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1}$
[/mm]
2. Schritt: Vertauschen der 2. und 3. Zeile
[mm] $\pmat{ 2 & 1 & 2 & 4\\ 0 & \bruch{3}{2} & 9 & -3 \\ 0 & \bruch{1}{2} & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 3 &1}$
[/mm]
Dann ergibt sich als Permutationsmatrix schonmal [mm] $P_1= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1}$
[/mm]
Gauß-Verfahren
[mm] $\pmat{ 2 & 1 & 2 & 4\\ 0 & \bruch{3}{2} & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -3 &3}$ [/mm] mit [mm] $L_2= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\bruch{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & -\bruch{2}{3} & 0 &1}$
[/mm]
3. Schritt: 3. und 4. Spalte tauschen
[mm] $\pmat{ 2 & 1 & 2 & 4\\ 0 & \bruch{3}{2} & 9 & -3 \\ 0 & 0 & -3 &3 \\ 0 & 0 & 1 & 2}$ [/mm] mit Permutationsmatrix [mm] $P_2= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 &0}$
[/mm]
Gauß-Verfahren
[mm] $\pmat{ 2 & 1 & 2 & 4\\ 0 & \bruch{3}{2} & 9 & -3 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 &3} [/mm] = R$ mit [mm] $L_3=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{3} &1}$
[/mm]
Dann ist also $P= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0}$
[/mm]
und $L= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ \bruch{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & -\bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} &1}$
[/mm]
Laut Musterlösung soll aber $L= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ \bruch{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{2}{3} & 1 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} &1}$ [/mm] sein, und ich komme einfach nicht drauf. Außerdem müsste ja bei meinem L und R gelten $PA=LR$ was leider auch nicht der Fall ist...
Bin euch wie immer für eure Hilfe extrem dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 30.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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