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| Aufgabe | | Berechnen Sie die stetige Fortsetzung von f(x)= sin(x)*ln(x) |
Hallo,
1--> [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}ln(x)/(1/sin(x))
[/mm]
2--> Ableiten
3--> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}-sin^2(x)/xcos(x)
[/mm]
4--> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(-2sin(x)cos(x))/(cos(x)-xsin(x))
[/mm]
5--> 0*1/1-0 = 0
Ist der 4. Schritt überhaupt nötig?
Wie kommt man vom 4. auf den 5.? Additionstheoreme?
Gruss
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> Berechnen Sie die stetige Fortsetzung von f(x)=
> sin(x)*ln(x)
Hallo,
was ist der Definitionsbereich von f, und auf welche Menge sollst Du Deine Funktion stetig fortsetzen?
Es ist gut und notwendig, sich dies zunächst mal klarzumachen.
> 1--> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}ln(x)/(1/sin(x))[/mm]
Moment! Bist Du Dir ganz sicher, daß Du Dich für [mm] x\to \infty [/mm] interessierst?
Ich glaub' doch eher, daß Du den Grenwert für [mm] x\to [/mm] 0 interessierst, oder?
Du möchtest also [mm] \lim_{x\to 0}ln(x)*sin(x)=\lim_{x\to 0}\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{sin(x}} [/mm] berechnen.
Dieser ist von der Form [mm] \bruch{-\infty}{\infty}.
[/mm]
> 2--> Ableiten
"Ableiten" ist etwas mißverständlich, aber ich verstehe, was Du meinst, und Du tust es auch richtig.
> 3--> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}-sin^2(x)/xcos(x)[/mm]
Du hast nun [mm] \lim_{x\to 0}ln(x)*sin(x)=\lim_{x\to 0}\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{sin(x}}=\lim_{x\to 0}\bruch{-sin^2(x)}{x*cos(x)}
[/mm]
Wenn man diesen durch Einsetzen von 0 ausrechnen möchte, ist man so schlau wie zuvor. [mm] ("\bruch{0}{0}")
[/mm]
Daher versucht man es erneut mit l'Hospital, also oben und unten ableiten:
> 4-->
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-2sin(x)cos(x))/(cos(x)-xsin(x))[/mm]
[mm] \lim_{x\to 0}ln(x)*sin(x)=...=lim_{x\to 0}\bruch{-2sin(x)cos(x)}{cos(x)-x*sin(x)}
[/mm]
Hier kann man durch Einsetzen von x=0 den Grenzwert bekommen:
> 5--> 0*1/1-0 = 0
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> Ist der 4. Schritt überhaupt nötig?
Ja. Denn zuvor hast Du einen Ausdruck der Form [mm] \bruch{0}{0}.
[/mm]
> Wie kommt man vom 4. auf den 5.? Additionstheoreme?
x=0 einsetzen.
Gruß v. Angela
>
> Gruss
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