L'Hopital Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 17.06.2010 | | Autor: | snappy |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (x*(e^(1/x))-x) |
Die Frage ist nach dem Grenzwert
Ich hab mir gedacht, dass das auf " [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] " hinaus läuft. Allerdings kenne ich die Variante nur mit einem Bruch den man dann Kreuzweise multipliziert und dann ableitet um so zum Grenzwert zu kommen. Aber wie ich das in diesem Fall mache weiß ich leider nicht. Oder weiß es insgeheim aber komme nicht darauf.
Für Hilfe wäre ich dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Do 17.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] (x*(e^(1/x))-x)
> Die Frage ist nach dem Grenzwert
>
>
> Ich hab mir gedacht, dass das auf " [mm]\infty[/mm] - [mm]\infty[/mm] "
> hinaus läuft. Allerdings kenne ich die Variante nur mit
> einem Bruch den man dann Kreuzweise multipliziert und dann
> ableitet um so zum Grenzwert zu kommen. Aber wie ich das in
> diesem Fall mache weiß ich leider nicht. Oder weiß es
> insgeheim aber komme nicht darauf.
> Für Hilfe wäre ich dankbar
es sollte Dir helfen
[mm] $$x*e^{1/x}-x=x*(e^{1/x}-1)=\frac{e^{1/x}-1}{\frac{1}{x}}=\frac{e^{1/x}-1}{1/x}$$
[/mm]
zu schreiben. Dann verwende de l'Hopital.
(Beachte: [mm] $e^{1/x}-1 \to [/mm] 0$ und $1/x [mm] \to [/mm] 0$ bei $x [mm] \to \infty$.)
[/mm]
Alternativ:
Mit $z=1/x$ folgt aus $x [mm] \to \infty$ [/mm] auch $z [mm] \to 0\,.$ [/mm] Daher kannst Du
[mm] $$x*e^{1/x}-x=\frac{1}{z}e^{z}-\frac{1}{z}=\frac{e^z-1}{z}$$
[/mm]
schreiben, und mit de l'Hopital nun (sogar ein wenig allgemeiner)
[mm] $$\lim_{z \to 0}\frac{e^z-1}{z}$$
[/mm]
berechnen, welcher dann mit Deinem obigen GW übereinstimmt.
(Beachte: [mm] $e^{z}-1\to [/mm] 0$ bei $z [mm] \to 0\,.$)
[/mm]
P.S.:
De l'Hopital geht bei Fällen der Art [mm] "$\infty/\infty$" [/mm] und auch der Art "$0/0$".
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Fr 18.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo snappy, hallo Marcel,
wenn man den gesuchten Grenzwert schon auf
(*) $ [mm] \lim_{z \to 0}\frac{e^z-1}{z} [/mm] $
zurückgeführt hat, so ist zur Brechnung des Grenzwertes in(*) die Regel von l'Hospital nicht falsch, ist aber eine Vergewaltigung des Ableitungsbegriffes !
Mach es so: sei [mm] $f(z):=e^z$, [/mm] dann
$ [mm] \lim_{z \to 0}\frac{e^z-1}{z}= \lim_{z \to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}= [/mm] f'(0)=1 $
Oft ist es so wie hier: ist der grenzwert eines Ausdrucks zu berechnen, so wird häufig die Keule l'Hospital ausgepackt und draufgehauen. Bei genauem Hinsehen entpuppt sich der Ausdruck oft als ein einfacher Differenzenquotient.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Fr 18.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred!
> Hallo snappy, hallo Marcel,
>
> wenn man den gesuchten Grenzwert schon auf
>
>
> (*) [mm]\lim_{z \to 0}\frac{e^z-1}{z}[/mm]
>
> zurückgeführt hat, so ist zur Brechnung des Grenzwertes
> in(*) die Regel von l'Hospital nicht falsch, ist aber eine
> Vergewaltigung des Ableitungsbegriffes !
>
> Mach es so: sei [mm]f(z):=e^z[/mm], dann
>
> [mm]\lim_{z \to 0}\frac{e^z-1}{z}= \frac{f(z)-f(0)}{z-0}= f'(0)=1[/mm]
Da ist Dir ein [mm] $\lim$ [/mm] verlorengegangen:
[mm] $$\lim_{z \to 0}\frac{e^z-1}{z}= \red{\lim_{z \to 0}}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\ldots$$
[/mm]
> Oft ist es so wie hier: ist der grenzwert eines Ausdrucks
> zu berechnen, so wird häufig die Keule l'Hospital
> ausgepackt und draufgehauen. Bei genauem Hinsehen entpuppt
> sich der Ausdruck oft als ein einfacher
> Differenzenquotient.
Stimmt. Ehrlich gesagt liegt das hier aber auch ein wenig an der Überschrift, denn ich habe mir einfach nur einen alternativen Weg, de l'Hopital anzuwenden, überlegt.
Witzig ist ja eigentlich, dass, wenn man de l'Hopital draufhaut, aus
[mm] $$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
[/mm]
dann
[mm] $$\lim_{x \to x_0}f'(x)$$
[/mm]
wird. Ist [mm] $f'\,$ [/mm] stetig an [mm] $x_0\,,$ [/mm] so erhält man das gleiche Ergebnis.
Beste Grüße,
Marcel
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